crochet de deux matrices...

[GuYem]

Mais oui desespère pas! Va dormir et ça ira mieux. Tu prépares l'agrèg alors? Bon courage, cette année c'est la troisième fois que je vais essayer de la tenter!
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[invite14fbf546]

l'agreg interne oui. C'est la première fois, mais je suis super rouillée !!!!
en même temps c'est super de se replonger dans des vraies maths !

[nissart7831]

L'objet de l'exercice est de montrer que toute matrice à diagonale nulle peut s'écrire sous la forme MN-NM où M et N sont deux matrices.

Il suffit donc, pour toute matrice à diagonale nulle

d'exhiber deux matrices M et N telles que A=MN-NM.

Dans ce cas, pourquoi ne pas avoir mieux étudié la solution proposée par Jeanpaul ?
J'ai eu à faire cet exercice il y a quelques années et c'était la solution proposée.

imposer que la matrice M soit diagonale et chercher la matrice N.
On trouve assez facilement à condition que les éléments diagonaux de M soient tous différents (pourquoi pas, puisque M est arbiraire ?).

En fait, il faut que M soit diagonale telle que les éléments de la diagonale ( ) soient tous différents.

On trouve alors que les coefficients de N sont de la forme :

quelconques

Quant à savoir s'il existe un moyen de trouver toutes les matrices M et N telles que A = MN-NM (A avec diagonale nulle), c'est une autre histoire (sûrement intéressante d'ailleurs) ...

[justine&coria]

Justine&Coria : si j'ai bien compris tu as montré au final que tout matrice a diagonale s'écrit comme un crochet de matrice (ce qu'il fallait faire!) mais en plus tu as montré qu'on peut choisir M et N avec des coefficients diagonaux non opposés.
Tu peux confirmer s'il te plait?

En fait, j'ai d'abord travailler sur les matrices 2*2 comme j'ai dit, pour ensuite voir si on pouvait généraliser.
Après plusieurs essais, je me suis rendu compte que les matrices qui marchaient (et qui pouvaient être généralisées) sont les matrices suivantes (il en existe peut-être d'autres, mais bon, j'en suis pas trop sûr) :

N est une matrice dont quelques coefficients dépendent de ceux de M :
- ses coefficients diagonaux sont indépendants de ceux de M
- ses autres coefficients sont l'opposés de ceux de M : n_ij = -m_ij

Donc, justement, les coefficients diagonaux de N ne dépendent pas de ceux de M (ils ne sont pas opposés ou quoi que ce soit d'autre).
Et on remarque que c'est en faisant varier les coefficients diagonaux de M et de N qu'on peut atteindre toutes les matrices à diagonale nulle.

Ca me donne d'ailleurs une idée : on peut même fixer les autres coefficients [les coeff. hors diagonale], c'est-à-dire leur donner la valeur 0 ou 1 -> mais là il faut faire attention, car la somme de certains coefficients (je sais plus lesquels) ne doit pas être nulle pour que ça marche. Ca pourrait simplifier grandement les choses. Je vais essayer de voir ça cette aprèm.

En tout cas, c'est vrai : cette méthode calculatoire est assez barbare . Mais bon, je vois pas trop comment faire autrement (en tout cas avec mon niveau de Bac+1).
Juste une question, la trace, c'est bien la somme des éléments diagonaux, c'est ça ?

[justine&coria]

Finalement, ce que JeanPaul a dit est (beaucoup) meilleur et tellement plus simple.

[Jeanpaul]

Finalement, ce que JeanPaul a dit est (beaucoup) meilleur et tellement plus simple.

Merci le fan-club !

[invite14fbf546]

En fait, il faut que M soit diagonale telle que les éléments de la diagonale soient tous différents.

En effet ça marche bien !!!
Et c'est pas si "lourd" que ça !!!

Quant à savoir s'il existe un moyen de trouver toutes les matrices M et N telles que A = MN-NM (A avec diagonale nulle), c'est une autre histoire (sûrement intéressante d'ailleurs) ...

c'est peut-être l'objet de la suite du devoir... où on me parle de matrices diagonalisables... je vais continuer à bosser dessus !

Merci en tout cas pour votre aide, ça me motive et m'aide à avancer !