physique??? vecteur propre commun a deux matrices

[invite48d4167a]

Bonjour
j ai posé cette question dans leforum maths et tous les reponses que j ai eu indique que seuls un physicien peut me repondre alors je la repose dans le forum physique en esperant avoir mon bonheur:


je travail sur un algo pour calculer le vecteur propre commun a deux matrices et je cherche des applications , je cherche des cas tests, est ce que quelqu un sais des cas ou on cherche a caluler un vecteur propre commun a deux matrices( ou operateur ) ou bien verifier son existence



merci our votre aide
-----

[invite8c514936]

C'est typiquement ce qu'on veut faire en mécanique quantique. Les grandeurs physiques, celles qu'on peut mesurer, sont les valeurs propres de certains opérateurs décrits par des matrices et les états propres sont les vecteurs propres.
Deux grandeurs sont dites compatibles si les matrices commutent, et dans ce cas on sait qu'on pourra mesurer simultanément ces deux grandeurs, sans que la mesure de l'une perturbe l'autre.

Par exemple, les mesures de la coordonnée X et de la coordonnée Y sont compatibles, on peut le faire

Par contre, les mesures de la position X et de la composante correspondante de l'impulsion P ne le sont pas (ça conduit à l'une des relations d'incertitude d'Heinseberg).

Du coup, quand on a deux opérateurs décrit par des matrices diagonalisables simultanément, il est intéressant de calculer les vecteurs propres communs et mieux, d'exprimer les matrices dans la base de ces vecteurs propres communs car alors elles sont toutes deux diagonales et on peut y lire directement les grandeurs physiques.

Voilà, c'était pour faire court, dis si tu veux d'autres détails.

[invite48d4167a]

MERci beaucoup
j aimerai bien avoire plus de detail surtout la taille et la nature de vous matrices
merci

[invite8c514936]

Pour la "nature" des matrices, ben c'est des tableaux de nombre, quoi !

Et pour les dimensions, prenons un exemple simple. Si on veut décrire une particule avec la mécanique quantique, il faut décrire sa position, son impulsion, etc... Intéressons-nous à une propriété simple du point de vue purement mathématique : le moment cinétique. C'est un vexteur dans l'espace à trois dimension, c'est-à-dire qu'on peut s'intéresser à J _x , J_y ou J_z, ou le carre du module de ce vecteur J².
Cette propriété physique est décrite par un operateur J² et les états propres P, ceux qui ont un moment cinétique bien déterminé, sont des vecteurs vérifiant

J² P = hbar j(j+1) P où j est un entier non négatif.

et si on mesure le moment cinétique dans cet état, on trouvera hbar j(j+1).

D'autre part, si on s'intéresse à J_z, les vecteurs propres P' vérifient

J_z P' = m hbar P' où m est un entier compris entre 0 et j.

Comme on peut montrer par ailleurs que ces deux grandeurs sont compatibles, on peut avoir envie d'imposer que P=P', donc chercher les vecteurs propres communs.

Alors entrons dans le vif de ta question. Tout ça est bien beau, je suis resté assez abstrait jusque là, mais quelle est la dimension de ces matrices, combien d'éléments ont les vecteurs d'état P et P' ?
Et bien ça dépend !! Ca dépend de ce qu'on cherche à décrire. Si on veut TOUT décrire, la distribution de probabilité de présence de la particule en chaque point de l'espace, la dimension est infinie. Si on ne s'intéresse qu'au moment cinétique, par exemple pour un électron dans un atome, la dimension est infinie aussi... Mais si on s'intéresse par exemple à un électron unique dans un atome ayant une énergie donnée par exemple, alors la dimension est finie. (pour les puristes, attention je vais donner le détail en ne considérant pas le spin de l'électron)

Pour l'état fondamental noté 1s, les matrices sont de dimension 1, et seule la valeur j=0 est permise

Pour les premiers états excités 2s et 2p, elles sont de dimension 4 et les couples (j,m) peuvent prendre les valeurs (0,0) pour 2s et (1,-1), (1,0) et (1,1) pour 2p

Ensuite viennent les états excités 3s, 3p, 3d elles sont de dimension 9 et les couples (j,m) peuvent prendre les valeurs (0,0) pour 3s et (1,-1), (1,0) et (1,1) pour 3p et (2,-2), (2,-1), (2,0), (2,1) et (2,2) pour 3d.

Si maintenant ce que tu cherches, ce sont des matrices explicites, avec des nombres dedans pour utiliser ton algo, je peux t'envoyer des notes de cours détaillées sur ce qui précède.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite48d4167a]

je veux dire par la nature des matrices leur type c a d des matrices symetrique reels ou complexe defini positive inversible ou non des trucs comme ca, et par la taille la dimension de l espace du travaille, merci pour les exemples , si vous pouvez m envoyer le notes de curs ca serai genial mille merci

[invite8c514936]

je veux dire par la nature des matrices leur type c a d des matrices symetrique reels ou complexe defini positive inversible ou non des trucs comme ca

Ah OK je comprends. Les opérateurs correspondant à des observables physiques sont représentées par des matrices complexes hermitiques Hermitiques (ou Hermiciens, j'ai pas mon Maître Cappello sou la main...).

Tu peux m'envoyer un email par mp ? Je t'enverrai le bout de cours correspondant ce soir.

[invite48d4167a]

ok donc c est des matrices hermitiens de grandes ou petites tailles?

[invite8c514936]

Ben tu vois dans l'exemple que je donne plus haut que ça dépend de ce que tu étudies. Pour l'électron de l'atome d'hydrogène avec une énergie donnée, ça peut être de dimension 1, 4, 9,... (en fait ça va en n² pour les suivants...).

PS : OK j'ai ton email, je t'envoie le truc ce soir (harcèle-moi si j'oublie...)

[invite48d4167a]

bonjour
peut tu le mettre sur le net?

[invite8c514936]

Non, pour les raisons que je t'ai indiquées dans le mp. Je t'écris de suite en mp pour trouver une solution...

[invite48d4167a]

Bonjour
je reviens a ce sujet car j ai publié un article sur la resolution du probleme et tous marche bien, par contre je cherche toujoursplus d'application pour attaquer le probleme dans des cas partucliers j ai besoin de votre aides donc si vous avez deja rencontrer un cas où on cherche a calculer un vecteur propre commun a deux ou plusieurs matrice, surtout pour des matrices de grands tailles, veullez me l indiquer
merci

[Heimdall]

J² P = hbar j(j+1) P où j est un entier non négatif.

et si on mesure le moment cinétique dans cet état, on trouvera hbar j(j+1).

salut,


petite correction, je pense que deep_turtle voulait dire que la valeur propre de était

a+++

[invite48d4167a]

bonjour
est ce que vous connaissez pas des applications dans le traitements d'image ou dans la mecanique quantique avec des matrices de grands tailles
merci

[invite7ce6aa19]

bonjour
est ce que vous connaissez pas des applications dans le traitements d'image ou dans la mecanique quantique avec des matrices de grands tailles
merci

Oui en chimie quantique on diagonalise des matrices de très grandes tailles: 1million par 1 million et beaucoup plus.

[invite2aa91733]

salut a tous
en fait je voudrais bien réactualiser mes connaissances sur ces histoires de vecteur propres de moments cinétique ... est ce que ce serait possible à toi deep turtle de m'envoyer une copie du cours dont tu disposes, s'il te plait? ou bien me re - diriger vers un site proposant des rappels de méca Q?
merci d'avance...
sabc

[invite48d4167a]

bonjour

Oui en chimie quantique on diagonalise des matrices de très grandes tailles: 1million par 1 million et beaucoup plus.

est ce que tu peut me donner plus de detail s'il te plait

Deppe turtle
est ce que tu peut detailler un petit peu
Merci a vous deux

[invite2b662c2b]

Pour les matrices et vecteurs propre tu peux peut etre trouver ton bonheur en automatique : il y a de grosse theorie des systeme qui utilise enormement ce genre de chose...

[invite8c514936]

Deppe turtle
est ce que tu peut detailler un petit peu

Détailler quoi ?

PS : 9 de bons et bien placés dans "Deep turtle", un bon et mal placé, et un faux...

[invite7ce6aa19]

Détailler quoi ?

PS : 9 de bons et bien placés dans "Deep turtle", un bon et mal placé, et un faux...

Au sujet de la chimie quantique, même réponse que deep_Turtle Dans quelle direction veux-tu des précisions?

[invite48d4167a]

Détailler quoi ?????
un position du probleme
l'origine du probleme par exemple:
dans le domaine (x) on cherche a résoudre l'equation (y) dont les paramètres sont (????) et pour le faire on doit calculer unvecteur propre commun a deux ou plusieur matrices de type (????)
j 'espere que c'est pas trop demandé
j ai lu des polycope sur la mecanique quation l'autamatique mais je me suis perdu vous êtes ma dérniere chance
Merci

[invite8c514936]

Bonjour,

Je veux bien faire un effort pour expliquer des choses, je pense que Mariposa aussi, mais il faut que de ton côté tu fasses aussi cet effort : je ne comprends absolument rien à ton message !

[invite48d4167a]

oui et merci beaucoup pour vos efforts, et j'ai fait des efforts et je l ai fait toujours mais en lisant tous le cour de mecanique quantique c'est vague je me suis perdu est ce que vous pouvez me dire exactement la partie concernant le vecteur propre commun est ce que c'est une équation différentielle a coefficient matriciel ou des operateurs qu'on cherche leurs vecteur propre commun pour voir s'il verfiie n proprieté ou non ou un truc du genre
merci

[invite48d4167a]

Est ce que c 'est toujours pas claire

[inviteb597460c]

voici un exercice de mon cours de mecanique analytique (L.Haine, Math 1175, UCL)

On veut trouver les modes normaux d'un pendule double
le Lagrangien est L(x,dx/dt,y,dy/dt) = 1/2 ( 2(dx/dt)² +(dy/dt)²+2(dx/dt).(dy/dt).cos(x-y)+g(1-cos(x))+g(1-cos(x)-cos(y))

x=angle du premier pendule
y=angle du deuxième pendule
les longeurs et les masses sont posées à 1.

il faut linéariser le lagrangien autour de l'équilibre et ecrire une relation du type
L= (dx/dt dy/dt).A (x y).(dx/dt dy/dt)^T+(x y).B. (x y)^T

On trouve (autour de l'équilibre) A = [[2 1],[1 1]] et B=[[2g,0],[0,g]]

Le lagrangien est découplé en les variable x, y .
Il faut trouver une matrice de changement de base commune à A et B qui les diagonalises.

Pour ca on calcule le determinant de (B-vA) qu'on égale à zero pour trouver les valeurs propes v. det(B-vA)=0
puis on calulce les vecteurs propres= noyeau de (B-vA)

on peu alors construire une matrice P constituée des vecteurs propres trouvés. on trouve
P=[[1,1][-2^1/2,2^1/2]] (pas normalisé)

on a alors
(dx/dt dy/dt)P^T.A.P (x y).(dx/dt dy/dt)^T+(x y).P^T.B.P. (x y)^T

et P^T.A.P est diagonale ainsi que
P^T.B.P

On réecrit alors le lagrangien dans cette nouvelles base où les coordonnées ne sont plus découplées.

on trouve alors 2 modes normaus de fréquence angulaire
w₁=(2g/(2+2 ^1/2))^1/2
w₂=(2g/(2-2 ^1/2))^1/2

voila c'était un peu long j'espere que ce sera utile.

[invite48d4167a]

Merci beaucoup pour ton effort c'est génial mais dans ton exemple les matrices en question sont de taille 2x2 donc on n a aps besoin d'un algorithme pour calculer leur vecteur propre commun, est ce qu'il n ya pas une géneralisation de ton probleme qui engendre des matrices de taille nxn importante
merci

[inviteb597460c]

en prenant N pendule accroché l'un à la suite de l'autre ya surement moyen.

[invite48d4167a]

donc c possible? la genralisation a n pendule donnera une mtrice de taille n?

[inviteb597460c]

je l'ai jamais fait mais oui ca donnera deux matrice A et B de taille NxN qu'il faudra diagonaliser simultanément

[invite48d4167a]

est ce qu'il n ya pas une erreur dans cette formule :

L= (dx/dt dy/dt).A (x y).(dx/dt dy/dt)T+(x y).B. (x y)T

le produit A(x y)

[invite48d4167a]

toujours pas de réponse