Bonjour, je sollicite les éminents cerveaux dont, j'imagine, regorge ce forum avec un exercice qui me pose problème; en fait la dernière question est celle qui me bloque:

On étudie l'équation suivante :



Ici, est un paramètre réel positif et est une fonction définie sur à valeurs dans .

Le but ici est de montrer qu'il existe au plus un couple solution de l'équation.
Par contradiction on suppose qu'il en existe deux : et , et on pose .

Premièrement, on demande d'exprimer et , ce qui donne:



ensuite,(2) montrer que



Cela se prouve aussi assez facilement en utilisant l'expression de .

Puis (3) montrer que est solution de l'équation non linéaire suivante:



Pour celle là j'ai utilisé l'expression de et la définition de et pour trouver le résultat.

Voilà où je bloque: En utilisant (2) et (3) montrer que et sont identiquement égales et que .

Petite indication: multiplier (3) par et effectuer une intégration par parties.

J'ai suivi l'indication, j'ai multiplié puis intégré sur ; je me suis dit que dans un premier temps j'utiliserai (2) pour remplacer l'intégrale de par celle de . Ensuite j'ai essayé d'intégrer par parties le seul truc un peu évident à intégrer à savoir mais je n'obtiens rien de concluant, je tourne en rond...
Je voudrais juste si possible avoir un indice supplémentaire, pas forcément le raisonnement complet.
Merci de votre intérêt!