Bonjour, je sollicite les éminents cerveaux dont, j'imagine, regorge ce forum avec un exercice qui me pose problème; en fait la dernière question est celle qui me bloque:
On étudie l'équation suivante :
Ici,est un paramètre réel positif et
est une fonction définie sur
à valeurs dans
.
Le but ici est de montrer qu'il existe au plus un couplesolution de l'équation.
Par contradiction on suppose qu'il en existe deux :et
, et on pose
.
Premièrement, on demande d'exprimeret
, ce qui donne:
ensuite,(2) montrer que
Cela se prouve aussi assez facilement en utilisant l'expression de.
Puis (3) montrer queest solution de l'équation non linéaire suivante:
Pour celle là j'ai utilisé l'expression deet la définition de
et
pour trouver le résultat.
Voilà où je bloque: En utilisant (2) et (3) montrer queet
sont identiquement égales et que
.
Petite indication: multiplier (3) paret effectuer une intégration par parties.
J'ai suivi l'indication, j'ai multiplié puis intégré sur; je me suis dit que dans un premier temps j'utiliserai (2) pour remplacer l'intégrale de
par celle de
. Ensuite j'ai essayé d'intégrer par parties le seul truc un peu évident à intégrer à savoir
mais je n'obtiens rien de concluant, je tourne en rond...
Je voudrais juste si possible avoir un indice supplémentaire, pas forcément le raisonnement complet.
Merci de votre intérêt!
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