Unicité d'une solution d'une équa diff

[invite67f80e10]

Je vous salue amis matheux

j'ai un soucis, j'ai réolu une équa diff simple:

y'+1/xy=cosx

J'ai trouvé

y(x)=k/x+sinx/x sur R- privé de 0
y'(x)=k'/x+sinx/x sur R+ privé de 0

Maintenant il faut prouver l'unicité de cette solution sur R.

Pour cela il faut prouver que y(x) est continue et dérivable sur R sauf que y(x) n'admet pas de limite finie lorsque x tend vers 0.

Dans ce cas, il faut prolonger la fct par continuité.

Ma question est pourquoi avons nous le droit de faire cela.
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[KerLannais]

Salut,

Déjà il ne faut pas s'être planté dans la résolution de l'équadiff sur chaque intervalle On doit trouver
sur
sur

On voit qu'il n'y a qu'une seule valeur de et de qui permettent d'avoir une fonction continue en . Ainsi, si il y a une solution sur elle est a fortiori solution sur et sur , il existe donc forcément des constantes et telles que ... et puisque la solution est nécessairement continue sur et a fortiori en elle doit être égale à ... mais il faut vérifier que cette dernière fonction est solution (si c'est le cas alors c'est l'unique solution, si ce n'est pas le cas alors il n'y a pas de solution sur bien qu'il y en ait sur et sur ).