Algèbre linéaire (base et matrice)

[invite9a93ada1]

Bonjour,
je suis en train de faire un exercie mais je commence à bloquer.
Pouvez vous m'aider ?

Soit la matrice B:

1) Montrer que A={(2,0,2),(-2,2,0),(2,2,0)} est une base de R^3
2) Calculer la matrice B correspondante à l'endomorphisme u dans la base A.
3) Calculer C^n pour tout n appartenant à Z

1) BASE=Génératrice+Libre.
Il est évident qu'il n'existe pas de lien de proportionnalité entre les vecteurs de A et donc que le seul scalaire possible est 0. C'est donc une famille libre.
Je dois maintenant montrer que c'est une famille génératrice ce que je ne réussis pas. Quelle démarche dois je entreprendre ?

2) De manière générale, dois je créer cette matrice ? :


Ici, j'appelle A1 le vecteur {1,0,1}
Je ne sais pas comment faire car l'application u est une matrice. (d'habitude je pars d'un simple expression pour créer une matrice)

3) Je ne comprends pas ce que représente C.

Merci de votre aide
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[invite9a93ada1]

Si vous voulez que je réexplique mon problème ou une de mes démarches, dites le moi.
Merci.

[invite3d4a2616]

Bonjour,

pour montrer que c'est une famille génératrice, tu cherches une CNS sur (x,y,z) pour que le système admette des solutions.

Ici, tu obtiens .

Donc c'est bien une famille génératrice.

Pour le reste, B c'est la matrice de u dans quelle base (canonique ? A) et C c'est défini comment ?

[invitec336fcef]

bonjour,

1) vous n'avez pas besoin de montrer qu'elle est génératrice. En effet, une famille libre à n vecteurs dans un espace de dimension n est forcément une base de E (cela peut se démontrer avec le théorème de la base incomplète). Donc dans votre cas, cette famille de vecteurs est libre et ils sont au nombre de 3 -> c'est donc une base de R^3.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec336fcef]

2) Je pense que l'énoncé suppose que B est la matrice de u dans la base canonique de R^3. Dans ce cas, il vous suffit d'exprimer la matrice de passage P de la base canonique de R^3 vers A. Ainsi, vous pourrez nécessairement exprimer la nouvelle matrice à l'aide de la formule , où M est la matrice de l'endomorphisme u dans la base A.

3) c'est vrai qu'on ne connait pas C !!

[invite9a93ada1]

Merci de vos réponses.

tu cherches une CNS sur (x,y,z)

Une CNS ?Pouvez vous expliquer votre technique avec alpha, beta, gamma ? Je ne vois pas comment vous pouvez déduire que c'est une famille génératrice.

vous n'avez pas besoin de montrer qu'elle est génératrice. En effet, une famille libre à n vecteurs dans un espace de dimension n est forcément une base de E (cela peut se démontrer avec le théorème de la base incomplète).

Je sais que théorème de la base incomplète dit que l'on peut compléter une famille libre avec des vecteurs d'une famille génératrice pour former une base.
Pouvez vous plus expliciter votre raisonnement ?

la matrice de u dans la base canonique de R^3

Quand vous parlez de base canonique, vous voulez parler de e1={1,0,0}
e2={0,1,0}
e3={0,0,3} ?

Il ne faut l'exprimer en fonction de la base de A
A={(2,0,2),(-2,2,0),(2,2,0)} ?

Merci

[invite3d4a2616]

Pour ma méthode (le cas général pour montrer qu'une famille est génératrice), on veut montrer que n'importe quel vecteur (x,y,z) de R^3 peut s'écrire comme combinaison linéaire des 3 vecteurs de A. On cherche une condition nécessaire et suffisante (CNS) sur les scalaires alpha, beta et gamma pour obtenir (x,y,z).

[invitec336fcef]

Soit E un espace vectoriel de dimension finie n. Soit une famille de n vecteurs de E. Les propositions sont équivalentes :

(i) la famille est une base de E.
(ii) est une famille libre à n éléments.
(iii) est une famille génératrice à n éléments.

Dém :

(i) (ii) et (iii) naturellement, d'après la définition d'une base.

(ii) (i). Soit une famille libre à n éléments. D'après le théorème de la base incomplète, on peut compléter cette famille en une base de E qui est donc identique à la famille libre, puisque celle-ci possède n éléments.

(iii) (i) Soit une famille génératrice à n éléments. Il est possible d'extraire une base de toute famille génératrice finie (c'est un théorème de cours). Par la suite, la base extraite de la famille est identique à la famille génératrice, puisque toutes deux possèdent n éléments.

Cordialement.

[invitec336fcef]

Pour répondre à votre dernière question, nous n'avons aucune indication sur u. Or pour pouvoir exprimer vectoriellement u dans une base, il nous faut déjà des informations sur u. J'ai donc supposé que la matrice B que vous donnez au départ est la matrice de u dans la base canonique de R^3, qui est {(1,0,0)(0,1,0)(0,0,1)}. Mais si ce n'est pas ça, je pense qu'il manque une indication pour résoudre votre problème. Il nous faudrait l'énoncé complet.

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