démo sur les coupures

[invite371ae0af]

bonjour,

j'aurai une question sur le début d'une démonstration portant sur les coupures:
soient A et B deux coupures, on dit que A<B si A inclus dans B et A différent de B.c'est une relation d'ordre totale.
la démo porte sur la propriété totale.

on commence par écrire la signification de A différent de B: il existe a dans A tel que a n'est pas dans B

puis on poursuit par: soit b dans B. montrons que b est dans A (pourquoi commence-t-on comme ca? on ne montre pas qu'il existe a.....)
dans la suite: si b>A puisque B est une coupure, a dans B impossible (pourquoi a-t-on b>A?)

merci de votre aide
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[Seirios]

Bonjour,

Peut-être serait-il nécessaire de rappeler la définition d'une coupure, la définition donnée par wikipédia ne semble pas compatible avec la relation d'ordre.

[invite371ae0af]

en cours on a dit qu'un ensemble A dans E est une coupure
s'il n'est pas vide et s'il est différent de l'ensemble Q des rationnel
A ne doit pas être plein à gauche: pour tout a dans A, si b dans Q tel que b<a alors b est dans A
A ne doit pas avoir de plus grand élément: pour tout a dans A, il existe un b dans A tel a<b

[Seirios]

Si je reprends le raisonnement : On prend deux coupures A et B différentes. Alors il existe a dans A qui ne soit pas dans B ou bien il existe b dans B qui ne soit pas dans A. Sans perte de généralité, on peut supposer qu'il existe a dans A qui ne soit pas dans B (les deux situations sont symétriques). On veut alors montrer que . Pour cela, on fixe un élément b de B. Nécessairement, b<a (puisque implique (B est plein à gauche)) et donc b appartient à A (puisque A est plein à gauche). On a donc bien l'inclusion, et par conséquent .

[A voir en vidéo sur Futura]