Algèbre : application linéaire (matrice)

[lilipletz]

Bonjour je bute sur un exercice et je me demandais si quelqu'un pourrait éclairer ma lanterne :'(
Je ne vois pas du tout par où commencer.
merci d'avance...

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[sailx]

Salut,

La difficulté de cet exercice est l'abstraction : l'espace à considérer est et non plus comme on en a l'habitude .
Mais, tu peux te ramener au cas usuel en introduisant une base de , et c'est ce que propose l'énoncé, les matrices proposé forment une base de l'espace (qui est bien de dimension 4)

Maintenant, pour trouver la matrice de f, il faut que tu regarde quel est l'image par f de chacun de ces vecteurs de bases (ici, les vecteurs sont en faite des matrices)

[lilipletz]

Avant tout, merci de ta réponse.
J'ai calculé les images pour chaques vecteurs de base
Cependant le corrigé de cet exercice (qui ne me donne que la matrice) semble m'indiquer que f(vecteur base) correspond aux colonnes de ma matrice :/

Voici le résultat ça sera plus clair :

a 0 b 0
0 a 0 b
c 0 d 0
0 c 0 d

et je ne comprend pas pourquoi

[sailx]

Pour que tout soit vraiment clair, essayons de tout décortiquer :
l'application f s’écrit de la façon suivante :
(où M est la matrice donné par l'énoncé et A une matrice quelconque de M2).
Le plus simple est de considéré la base canonique
Tu regarde l'image de ces vecteurs de bases.

Une fois ce calcul fait, tu as la matrice Mat(f) de f dans la base canonique qui est donné par : (ce sont des vecteurs colonnes)

Avec ta matrice, tu regarde si l'image des vecteurs de base est bien l'image que tu trouvais. (c'est juste une vérification)

[A voir en vidéo sur Futura]

[thomas5701]

Bonjour à toi.
En fait, il faut appliquer ta fonction à chaque vecteur de la base (comme dit précédemment)

. etc...

Le produit matriciel donne une certaine matrice qu'on peut décomposer dans la base donnée. Et ainsi construire la matrice que tu donnes

[lilipletz]

Merci de vos réponses, j'ai bien compris les étapes du raisonement.
C'est surtout le passage "(ce sont des vecteurs colonnes)" qui me pose problème à vrai dire :/

[sailx]

c'est général et donc à retenir pour l’algèbre linéaire.
Il faut savoir que la matrice d'une application linéaire dans une base quelconque, c'est la matrices des images de ces vecteur de bases dans la base d'arrivé.
Et c'est tout le temps vrai.

Pour t'en convaincre : Supposons que M soit la matrice d'une application linéaire f dans une base quelconque B
On a d'après ce que je viens de dire (où sont les vecteurs de ma base)
Maintenant, si je fait le produit M.X avec X = (1 , 0,0,...,0), j'obtiens (en identifiant f(e_1) avec le vecteur colonne lui correspondant)

Je te conseille de le faire "à la main" avec de petit exemple, c'est comme ça que tu retiendra et que ça deviendra "clair" pour toi
si je fait MX avec X=(0,0,...0,1,0,...,0)
J'ai
Et c'est biens ce qu'on voulait

[lilipletz]

je te remercie pour ta réponse