Exercice L2 : Fonction lipschitzienne

[invite4a83dca3]

Bonjour,
Je n'arrive pas faire un exercice sur les fonctions lipschitziennes.

Soit f une application de R dans R.
On suppose que f vérifie la propriété suivante :

Prouver que f est lipschitzienne sur .

Avez-vous des pistes?

Cdt
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[invitec3143530]

Eh bien déjà il est évident qu'elle est lipschitizienne sur tout intervalle [a, a+1].


Sur un intervalle plus grand, [a,b], on prend une subdivision de pas 1, sauf le dernier sous intervalle qui ne sera pas forcément de largeur 1.

a, a+1,..,a+k,...,a+[b-a], b (où [b-a] est la partie entière de b-a).

on a |f(x) - f(y)| <= M pour tout x,y de [a,a+1]
|f(x)-f(y)| <=M pour tout x,y de [a+1, a+2]

d'où |f(x)-f(y)| <=2M pour tout x,y de [a, a+2], or 2M = M|(a+2)-a| donc f est M-lipschitzienne sur l'intervalle [a, a2].

En itérant ce raisonnement sur les autres intervalles, on en déduit que f est M-lipschitzienne sur tout intervalle [a,b] donc sur R.

Sauf erreurs.

[invite4a83dca3]

Merci beaucoup ! En plus, j'ai compris sans difficulté

[Seirios]

d'où |f(x)-f(y)| <=2M pour tout x,y de [a, a+2], or 2M = M|(a+2)-a| donc f est M-lipschitzienne sur l'intervalle [a, a2].

Comment justifies-tu ce passage ? Il faudrait montrer que pour conclure que f est M-lipschitzienne.

Sinon, en prenant , on peut dire qu'il existe tel que . Donc et ainsi f est M-lipschitzienne sur [a,a+2].

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite00970985]

Comment justifies-tu ce passage ? Il faudrait montrer que pour conclure que f est M-lipschitzienne.

Si on met bout à bout ce qu'il a écrit, on a bien que : |f(a)-f(b)|<M|a-b|.

Sinon, en prenant , on peut dire qu'il existe tel que . Donc et ainsi f est M-lipschitzienne sur [a,a+2].

Non, si prends z = a+1/2, on n'a pas |z-y|<1, et donc on ne peut pas appliquer que f est lipschtzienne sur [z,y].

[Seirios]

Si on met bout à bout ce qu'il a écrit, on a bien que : |f(a)-f(b)|<M|a-b|.

Je suis d'accord, mais cela ne prouve pas que f est M-lipschitzienne sur [a,a+2], je ne pense pas que ce soit l'argument de Linkounet.

Non, si prends z = a+1/2, on n'a pas |z-y|<1, et donc on ne peut pas appliquer que f est lipschtzienne sur [z,y].

Je voulais dire qu'il existe tel que et .