Fonction lipschitzienne

invitedb1946d2 · 24/02/2011, 10h00

Bonjour !

J'ai un peu de mal sur cet exercice et j'espérai que vous pourriez me donner quelques pistes !

On se donne une fonction k-lipschitzienne de $\text{[math]}$ dans lui même avec $\text{[math]}$

On pose $\text{[math]}$ definie sur un intervalle I.

On demande de montrer que g est injective puis surjective.

J'ai reussi à montrer qu'elle était injective, mais je ne vois pas comment montrer qu'elle est surjective. On pourrait dériver g et montrer qu'elle est bijective mais je ne dois pas le résoudre comme ça donc je n'ai pas trop d'idées !

Merci d'avance

**Seirios** · 24/02/2011, 11h16

Bonjour,

Une possibilité est de montrer que $\text{[math]}$ ; par exemple, sachant que f admet un point fixe (c'est une fonction contractante), tu sais que pour tout x, $\text{[math]}$ , et à partir de là, tu peux encadrer g et déterminer les limites en l'infinie.

EDIT : Ce n'est pas la peine d'introduire le point fixe $\text{[math]}$ , il suffit de prendre $\text{[math]}$ , c'est plus simple et cela permet de ne pas utiliser un résultat pour rien. D'ailleurs, tu remarqueras que la surjectivité peut ainis se montrer quelque soit k (k<1 ne sert que pour l'injectivité).

invitedb1946d2 · 24/02/2011, 11h44

Bonjour ! Merci beaucoup pour tes réponses !

Je vais faire les calculs pour voir si j'ai bien tout compris, mais certains points me paraissent encore obscur !

Pour dire que f admet un point fixe (tu as dit dans l'édit que ce n'était pas la peine mais ça m'intéresse!), ne faut-il pas montrer que g est surjective pour être sur que g(x)=0 a une solution donc que f(x)=x a une solution ?

Que veux tu dire quand tu dis que la fonction est contractante ?

Sinon j'ai bien compris la méthode limites/TVI, merci pour tes conseils !

invitedb1946d2 · 24/02/2011, 12h10

Bon ça ne s'arrange pas. Je n'arrive pas à encadrer g autrement que par des constantes (donc c'est faux), et je n'arrive pas à arriver jusqu'aux limites à cause de la valeur absolue. Décidément...

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**Seirios** · 24/02/2011, 12h30

Envoyé par Phys2

D'ailleurs, tu remarqueras que la surjectivité peut ainis se montrer quelque soit k (k<1 ne sert que pour l'injectivité).

C'est faux, oublie ce passage.

Pour dire que f admet un point fixe (tu as dit dans l'édit que ce n'était pas la peine mais ça m'intéresse!), ne faut-il pas montrer que g est surjective pour être sur que g(x)=0 a une solution donc que f(x)=x a une solution ?

C'est le théorème du point fixe : de manière générale, si tu as une fonction f de E dans E (avec E un espace métrique complet, ou simplement un espace de Banach (ici IR)) contractante (c'est-à-dire k-lipschitzienne avec k<1), alors f admet un unique point fixe.

Je n'arrive pas à encadrer g autrement que par des constantes (donc c'est faux), et je n'arrive pas à arriver jusqu'aux limites à cause de la valeur absolue.

Tu as $\text{[math]}$ , donc $\text{[math]}$ , et tu en déduis $\text{[math]}$ .

invitedb1946d2 · 24/02/2011, 14h11

Ok merci beaucoup d'avoir pris du temps ! Je ne connaissais pas ce théorème. Pour les inégalités, je la transformait tout de suite en inégalité stricte pour me debarasser du k et du coup je ne pouvais plus conclure ! Merci beaucoup en tout cas bonne aprés-midi

Fonction lipschitzienne