Problème de connexité

[Seirios]

Bonsoir à tous,

Je cherche à étudier la connexité de l'ensemble .

Déjà, Q ne semble pas être localement connexe : si je prends un voisinage d'un point du plan supérieure suffisamment petit, sa projection sur l'axe des abscisses sera inclus dans , qui est totalement déconnecté.

Ensuite, j'aimerais montrer que Q est bien connexe, mais je ne vois pas comment aborder le problème.

Quelqu'un pourrait-il me donner une indication ?

Merci d'avance,
Seirios
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[invite57a1e779]

Bonjour,

Voici le principe d'une méthode possible.

Soit une application continue de dans .

1. La valeur est indépendante de , on la note , définissant ainsi une application de dans .

2. L'application est continue.

3. L'application est constante, itou, donc est connexe.

[invited73f5536]

Bonjour.

est une sorte de "double-peigne". Pour , je note la branche correspondante. Si , alors est une branche qui pointe vers le bas, et qui contient , et dans le cas contraire, elle pointe vers le haut, et ne contient pas .

On considère une application continue . Par connexité de chaque branche, on trouve que est constante sur chaque ; ce qui permet de définir une application , telle que vaut sur .

Essaye de montrer que est continue, ce qui termine le problème par connexité de .

EDIT : Complètement grillé par God's Breath.

[Seirios]

Vu l'ensemble, je ne m'attendais pas à trouver un argument aussi simple. Merci à vous deux.

[A voir en vidéo sur Futura]