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Problème de connexité



  1. #1
    Seirios

    Problème de connexité


    ------

    Bonsoir à tous,

    Je cherche à étudier la connexité de l'ensemble .

    Déjà, Q ne semble pas être localement connexe : si je prends un voisinage d'un point du plan supérieure suffisamment petit, sa projection sur l'axe des abscisses sera inclus dans , qui est totalement déconnecté.

    Ensuite, j'aimerais montrer que Q est bien connexe, mais je ne vois pas comment aborder le problème.

    Quelqu'un pourrait-il me donner une indication ?

    Merci d'avance,
    Seirios

    -----
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  2. #2
    God's Breath

    Re : Problème de connexité

    Bonjour,

    Voici le principe d'une méthode possible.

    Soit une application continue de dans .

    1. La valeur est indépendante de , on la note , définissant ainsi une application de dans .

    2. L'application est continue.

    3. L'application est constante, itou, donc est connexe.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  3. #3
    Arkhnor

    Re : Problème de connexité

    Bonjour.

    est une sorte de "double-peigne". Pour , je note la branche correspondante. Si , alors est une branche qui pointe vers le bas, et qui contient , et dans le cas contraire, elle pointe vers le haut, et ne contient pas .

    On considère une application continue . Par connexité de chaque branche, on trouve que est constante sur chaque ; ce qui permet de définir une application , telle que vaut sur .

    Essaye de montrer que est continue, ce qui termine le problème par connexité de .

    EDIT : Complètement grillé par God's Breath.
    Dernière modification par Arkhnor ; 30/09/2011 à 09h49.

  4. #4
    Seirios

    Re : Problème de connexité

    Vu l'ensemble, je ne m'attendais pas à trouver un argument aussi simple. Merci à vous deux.
    If your method does not solve the problem, change the problem.

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