Bonjour a tous.
Dans le cadre d'un DM sur la non constructibilité de la trisection de l'angle Pi/3, je dois montrer que le polynome x^3-3x-1 n'a pas de racines dans Q .
Je sais que 2cos(Pi/9) est une racine dans dans R de ce polynome.
J'ai essayer de factoriser avec cette racine, mais je n'ai pas réussi.
donc je suis un peu bloquer .
Si vous avez des idées ....
Soitune racine rationnelle de
Tu en déduis que
Un peu d'arithmétique élémentaire te permet de parvenir à
D'accord merci
Sinon j'avais trouver autre chose mais je ne suis pas du tout sur:
On suppose que f admet une racine dans Q : P/q on peut donc écrire f sous la forme ( x-P/Q)(ax²+bx+c) on identifie a x^3 -3x-1 et on trouve que c=-3 +(P/Q)² et c=Q/P il y a donc contradiction , donc f n'admet pas de racine dans Q
Est-ce que c'est juste ?
Je ne vois pas de contradiction.Envoyé par Gagaetan
Et bien on pourrait mpontrer apres que -3+(P/Q)² est different de Q/P non ?
Peut-être, mais comment ?
-3 +r²=1/r donc -3r+r^3-1=0 ... donc -3+(P/Q)²=Q/P uniquement si P/Q est racine de f je tourne en rond la ^^
Pour ne pas tourner en rond, il faut introduire un argument arithmétique sur p et q afin d'utiliser le fait que ce sont des entiers.
si on reprend -3+P²/Q²=Q/P On a P qui divise P/Q et P qui divise Q/P non ?
Oublier ce que je viens d'écrire c'est faux
ben tu peux ecrire f(x)=(x-2cos(pi/9))(x²+bx+c)
on en deduit b et c, et on peut voir vite que le polynome en x² n'a pas de racine rationnelle
Desolé mais je ne comprend pas tres bien : le polynome en x² n'a pas de racine rationnelle
ben les racines d'un polynome de degré 2 sont connues , non ?
et b et c sont faciles à calculer.
Ok merci j'ai trouver
Mais je vais encore vous embeter ^^
Je dois maintenant montrer que si b un réel est algébrique sur Q, alors 2b l'est aussi .
Je l'ai montrer sur un polynome de degré deux, mais la généralisation reste assez difficile je trouve ...
En fait j'ai trouver aussi ^^
mais je me suis apercu que je n'arrive pas la méthode de ansset : je trouve b=cos(Pi/9) et je trouve 2 expressions pour c ...
inutile de répondre j'ai trouver aussi.
Merci encore pour l'aide
J'ai encore besoin d'aide
Maintenant on suppose que x=a+b*rac(n) est racine de f(x)=x^3-3x-1 .
Je dois montrer que b²n=3-3a²
J'ai eu beau injecter x dans l'expression de f dans tous les sens, je ne suis jamais abouti a ce que l'on veut démontrer ...
La substitution de
et il reste à prouver que le coefficient de
dans une question ultérieur, j'ai prouver que b n'était pas nul , je dois donc montrer que 3a²+b²n-3 est nul
Sauf que je ne vois absolument pas pourquoi, dans cette égalité, (3a²+b²n-3) devrait etre egale a 0
Je ne le sais pas plus, puisque je ne connais ni
Mais c'est le seul lien que je vois avec l'égalité à démonter:
A mince je ne connais pas non plus b a et n -_-'
Cher Gagaetan, tout d'abord il y a de forte chance pour qu'on soit dans la même classe héhé, bon dès fois que t'ais pas encore trouvé
3a²+b²n-3 = 0
car c'est le facteur de la partie irrationnelle ie l'autre partie est entière et ne peux donc par être l'opposé,
et donc 3 - 3a² = b²n
ps : test : c'est trivial !
