Nombre constructible

[Bleyblue]

Bonjour,

J'essaye de montrer que le nombre suivant est (ou n'est pas) constructible à la règle et au compas :



mais sans résultats.
J'ai essayé de me baser sur le fait que les nombres constructibles forment un corps, sur le fait que si x est constructible alors aussi, et sur le théorème de Wantzel, mais je n'y arrive pas.

Avez-vous une idée ?

merci
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[invitebe0cd90e]

Salut,

J'avoue avoir trouvé ca en tatonnant un peu, mais il s'avere que si tu ecris :



tu remarques que , donc finalement qui est une extension quadratique de

Je mentirais si je disais que cette simplification m'a sauté aux yeux. En fait, vu que ce qu'il y a sous la racine cubique a la forme d'une racine d'un polynome de degré 2, cad de la forme j'en ai deduis que le polynome etait a coefficient entier, et de fait il l'est puisque c'est , et donc est racine de , que j'ai factorisé en , et il se trouve que finalement est racine du facteur de gauche.

[Bleyblue]

Diable, j'en suis muet d'étonnement

Je ne m'attendais pas du tout à cela.

merci beaucoup

[Bleyblue]

Tiens et comment as-tu trouvé la factorisation du fameux polynôme de degré 6 ?

Si je me souviens bien j'étais également tombé dessus (il y a une semaine ou deux) mais ne parvenant pas à montrer qu'il est irréductible ni à le factoriser j'ai abandonné la piste ...

merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebe0cd90e]

J'ai utilisé le logiciel Maxima Qui lui même utilise vraisemblablement l'algorithme de Berlekamp. Il se trouve que la factorisation des polynomes sur Q est un probleme algorithmiquement relativement "facile", donc c'est une bonne idée de s'y ramener. A ma connaissance, la partie difficile c'est de trouver un polynome annulateur a coefficients rationnel, une fois ceci fait il suffit de le factoriser et de tester pour trouver le polynome minimal.

[invitebe0cd90e]

Ceci dit, histoire de compléter, etant donnée une approximation decimale de ton nombe algébrique, l'algorithme LLL permet a degré fixé de trouver un candidat pour le polynome minimal.

[invitebe0cd90e]

En fait, pour etre honnete c'est meme ca que j'ai essayé en premier, avec la fonction "algdep" de pari/gp, en cherchant un polynome de degré 6. Il m'a sorti :



cad fois le bon polynome, mais je ne l'ai pas cru, ca me semblait louche a moi aussi retrospectivement, en essayant avec le degré 2, il trouve directement :

? algdep(s,2)
%38 = x^2 - 2*x - 1

[Bleyblue]

Ah d'accord.

Tu me rappels que j'ai aussi un logiciel de calcul formel installé sur mon ordi., je devrais penser à l'utiliser

Cela dit je ne pourrai pas en disposer à l'examen, je vais peut-être demander au professeur comment il s'y prend.

merci bien

[invitebe0cd90e]

Effectivement je serais curieux de savoir.

En parlant d'LLL, une petite curiosité basée sur ce principe : l'inverseur de Plouffe. Tu entres une approximation d'un nombre reel (concretement un nombre avec plein de decimales) et il essaie de retrouver sa formule exacte et d'autres infos dessus.

Par exemple, ton nombre vaut environ -0.4142135623730950488016887239

tu tapes ca dans l'inverseur de Plouffe, et tu obtiens ceci : http://bootes.math.uqam.ca/cgi-bin/i...up_type=simple

[Médiat]

tu tapes ca dans l'inverseur de Plouffe, et tu obtiens ceci : http://bootes.math.uqam.ca/cgi-bin/i...up_type=simple

Impressionnant, et je ne veux pas donner l'impression que je ne fais que dénigrer, mais parfois on peut se demander si ce n'est pas sarcastique : après avoir trouve , il trouve aussi (formule que l'on peut décliner ... à l'infini ), et d'autres avec des combinaisons plus ou moins directes de

[invitebe0cd90e]

Bien sur, mais il faut voir qu'il cherche de facon systematique des combinaisons algebriques a coeffs entiers de nombres réels "courant".

Comme dans le formules trigo on a souvent des polynomes en les 2 "variables" , il cherche des formules de ce genre, donc si tu lui donnes 1 il risque de "trouver" le genre de trivialité dont tu parles.

[Médiat]

Bien sur, mais il faut voir qu'il cherche de facon systematique des combinaisons algebriques a coeffs entiers de nombres réels "courant".

Comme dans le formules trigo on a souvent des polynomes en les 2 "variables" , il cherche des formules de ce genre, donc si tu lui donnes 1 il risque de "trouver" le genre de trivialité dont tu parles.

J'insiste : en aucun cas je ne veux dénigrer cet outil.

Néanmoins, il me semble qu'éviter devrait être assez facile