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Trouver le polynôme minimal d'un nombre algébrique



  1. #1
    Seirios

    Trouver le polynôme minimal d'un nombre algébrique


    ------

    Bonjour à tous,

    J'aimerais trouvé le polynôme minimal du nombre algébrique sur : .

    Je pense qu'il devrait être de degré 4, mais y a-t-il une manière simple de le déterminer ?

    Merci d'avance,
    Phys2

    -----
    If your method does not solve the problem, change the problem.

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  3. #2
    leon1789

    Re : Trouver le polynôme minimal d'un nombre algébrique

    Pour trouver le polynôme minimal d'un élément algébrique x, on peut imaginer plusieurs méthodes.

    -- Trouver un polynôme annulateur (polynôme caractéristique par exemple, suivant le contexte), le factoriser, et trouver le plus petit diviseur s'annulant en x.

    -- Se donner une base, tabuler quelques puissances 1, x, x^2, ... jusqu'à ce que la famille soit liée (utiliser le pivot de Gauss par exemple)

    -- Connaitre les conjugués algébriques de x ...

    D'autres idées sont possibles.

  4. #3
    Médiat

    Re : Trouver le polynôme minimal d'un nombre algébrique

    Bonjour,

    Citation Envoyé par Phys2 Voir le message
    J'aimerais trouvé le polynôme minimal du nombre algébrique sur : .
    Dans ce cas particulier, en écrivant ce nombre :

    et en calculant , le reste devrait être simple.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  5. #4
    Seirios

    Re : Trouver le polynôme minimal d'un nombre algébrique

    Je me suis trompé dans l'énoncé, le nombre algébrique dont je cherche à déterminer le polynôme minimal est . Voici comment j'ai procédé :

    On a . On résout ce système avec et comme inconnues, que l'on exprime en fonction des puissances de a.

    On écrit ensuite , où l'on introduit nos expressions précédentes pour trouver : . On factorise ce polynôme dans , et on prend le facteur de plus petit degré ayant a pour racine.

    On trouve finalement le polynôme minimal : .

    J'ai vérifié le résultat, mais n'y a-t-il pas une manière plus rapide et moins lourde d'y arriver ?
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Médiat

    Re : Trouver le polynôme minimal d'un nombre algébrique

    Je n'ai pas fait les calculs jusqu'au bout, mais il me semble qu'en écrivant ce nombre :

    et en calculant , le reste devrait être plus simple à calculer (aucun système à résoudre).
    Dernière modification par Médiat ; 05/03/2010 à 10h45.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  8. #6
    God's Breath

    Re : Trouver le polynôme minimal d'un nombre algébrique

    Citation Envoyé par Phys2 Voir le message
    le nombre algébrique dont je cherche à déterminer le polynôme minimal est . Voici comment j'ai procédé :
    Le nombre satisfait la relation , soit .
    On en déduit .

    Donc le polynôme est annulateur ; il reste à vérifier qu'il est irréductible dans .
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

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  10. #7
    GogetaSS5

    Re : Trouver le polynôme minimal d'un nombre algébrique

    En géneral, tu écris :



    Le but du jeu est de supprimer les irrationnelles en élevant à la puissance de manière astucieuse :



    Donc en continuant :



    Et d'ou en effet comme ci-dessus :


  11. #8
    Médiat

    Re : Trouver le polynôme minimal d'un nombre algébrique

    Bonjour,

    Comme tout le monde a donné une solution clé en main, voici la fin des calculs
    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Je n'ai pas fait les calculs jusqu'au bout, mais il me semble qu'en écrivant ce nombre :

    et en calculant , le reste devrait être plus simple à calculer (aucun système à résoudre).
    d'où on déduit rapidement :
    ou encore
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  12. #9
    GogetaSS5

    Re : Trouver le polynôme minimal d'un nombre algébrique

    Pour montrer qu'il est irréductible la méthode la plus rapide dans ce cas précis ( mais qui ne marche pas toujours ) à mon avis, c'est de réduire le polynômes dans . Tu peux aisément constater que sa réduction dans est irréductible, et donc le polynôme est irréductible sur .

  13. #10
    Seirios

    Re : Trouver le polynôme minimal d'un nombre algébrique

    Merci pour vos réponses
    If your method does not solve the problem, change the problem.

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