Trouver le polynôme minimal d'un nombre algébrique

[Seirios]

Bonjour à tous,

J'aimerais trouvé le polynôme minimal du nombre algébrique sur : .

Je pense qu'il devrait être de degré 4, mais y a-t-il une manière simple de le déterminer ?

Merci d'avance,
Phys2
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[leon1789]

Pour trouver le polynôme minimal d'un élément algébrique x, on peut imaginer plusieurs méthodes.

-- Trouver un polynôme annulateur (polynôme caractéristique par exemple, suivant le contexte), le factoriser, et trouver le plus petit diviseur s'annulant en x.

-- Se donner une base, tabuler quelques puissances 1, x, x^2, ... jusqu'à ce que la famille soit liée (utiliser le pivot de Gauss par exemple)

-- Connaitre les conjugués algébriques de x ...

D'autres idées sont possibles.

[Médiat]

Bonjour,

J'aimerais trouvé le polynôme minimal du nombre algébrique sur : .

Dans ce cas particulier, en écrivant ce nombre :

et en calculant , le reste devrait être simple.

[Seirios]

Je me suis trompé dans l'énoncé, le nombre algébrique dont je cherche à déterminer le polynôme minimal est . Voici comment j'ai procédé :

On a . On résout ce système avec et comme inconnues, que l'on exprime en fonction des puissances de a.

On écrit ensuite , où l'on introduit nos expressions précédentes pour trouver : . On factorise ce polynôme dans , et on prend le facteur de plus petit degré ayant a pour racine.

On trouve finalement le polynôme minimal : .

J'ai vérifié le résultat, mais n'y a-t-il pas une manière plus rapide et moins lourde d'y arriver ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Je n'ai pas fait les calculs jusqu'au bout, mais il me semble qu'en écrivant ce nombre :

et en calculant , le reste devrait être plus simple à calculer (aucun système à résoudre).

[invite57a1e779]

le nombre algébrique dont je cherche à déterminer le polynôme minimal est . Voici comment j'ai procédé :

Le nombre satisfait la relation , soit .
On en déduit .

Donc le polynôme est annulateur ; il reste à vérifier qu'il est irréductible dans .

[invite2e5fadca]

En géneral, tu écris :



Le but du jeu est de supprimer les irrationnelles en élevant à la puissance de manière astucieuse :



Donc en continuant :



Et d'ou en effet comme ci-dessus :

[Médiat]

Bonjour,

Comme tout le monde a donné une solution clé en main, voici la fin des calculs

Je n'ai pas fait les calculs jusqu'au bout, mais il me semble qu'en écrivant ce nombre :

et en calculant , le reste devrait être plus simple à calculer (aucun système à résoudre).

d'où on déduit rapidement :
ou encore

[invite2e5fadca]

Pour montrer qu'il est irréductible la méthode la plus rapide dans ce cas précis ( mais qui ne marche pas toujours ) à mon avis, c'est de réduire le polynômes dans . Tu peux aisément constater que sa réduction dans est irréductible, et donc le polynôme est irréductible sur .

[Seirios]

Merci pour vos réponses