Polynome minimal d'un élément algébrique

[invite57d094d6]

Bonjour, je suis en train de réviser mon cours sur la théorie des corps et il y a une question qui revient souvent dans mes exercices que je n'arrive pas à résoudre : il s'agit de calculer un polynome minimal d'un élément algébrique sur un corps. Je vous donne un exemple d'énoncé :

On prend par exemple le nombre complexe a = "racine cubique de" (2) + "racine cubique de" (4), l'énoncé me dit qu'il est algébrique sur Q et on veut trouver le polynome minimal de a sur Q.

Quelqu'un peut-il me donner une méthode pour ce genre de question, ou s'il n'en existe pas, une aide pour savoir par où commencer pour répondre à ce genre de question ?

Merci
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[invite642cafc1]

Une méthode est celle-ci :
en posant
On calcule a, a², a³... puis on trouve une relation de dépendance algébrique (avec des coefficients rationnels ici).
Pour cela, il vaut mieux savoir jusqu'à quel exposant il faut aller.
Ici, comme un des deux termes est le carré de l'autre a est dans qui est de degré 3 sur Q donc il suffit de s'arrêter au degré 3.




On voit facilement (généralement on aboutit à un système plus ou moins facile à résoudre) que a³-6a-6=0
On vérifie facilement que ce polynôme est premier où on raisonne en se disant que Q[a] est compris entre Q et K donc est de degré 1 ou 3.

Une autre méthode (ne fonctionne bien que lorsque l'extension galoisienne est aisée pour le calcul de son groupe d'automorphisme) de considérer le corps de décomposition de X³-2 qui est de degré 6 sur Q. Le groupe de Galois G "coïncide" avec le groupe des permutations, d'ordre 6, sur les racines de X³-2.
Le polynôme est dans Q[X] mais également
où G⁺ est le sous-groupe des éléments permutant circulairement les racines de X³-2.
Le premier élément de G⁺ est l'idendité
Le second envoie sur et sur
Le troisième envoie sur et sur
Ainsi, le polynôme minimal de a est :

Ceci donne un calcul direct du polynôme mais finalement, du moins ici, avec un calcul plus difficile.

[invite57d094d6]

Merci beaucoup gyu pour ces deux méthodes.
J'ai compris la première et c'est bien celle que j'avais tenté d'appliquer dans les exercices similaires sans grande réussite car je me perdais souvent au milieu de mon raisonnement. Maintenant que cette méthode est clairement explicitée j'espère que les polynôme minimaux (dans ce contexte) n'auront plus de secret pour moi !
Pour ce qui est de la deuxième méthode, j'espère pouvoir la comprendre un jour car "malheureusement" je ne suis qu'en troisième année de licence de mathématiques et par conséquent je n'ai pas encore vu la théorie de Galois.
Merci encore pour ces explications.