Bonjour à tous,
J'ai un problème sur un exercice sur les polynômes minimaux :
Soitun corps et A une
et on suppose que cet élément admet un polynôme minimal
.
Je cherche à montrer queest inversible sur
si, et seulement si,
.
Pour la réciproque, le résultat est assez immédiat en utilisant l'égalité de Bezout, mais je n'arrive pas à montrer l'implication...
Je suis sûr que la solution doit être simple, donc ne me donnez qu'une indication
Merci d'avance,
Phys2
If your method does not solve the problem, change the problem.
Avec l'égalité de Bézout, on peut raisonner en utilisant des équivalences. Il n'y a pas lieu de distinguer une implication et sa réciproque.
Je ne suis pas de cet avis, car l'implication trouvée par Phys2 utilise seulement le fait queEnvoyé par God's Breath
est un polynôme s'annulant en
alors que la réciproque (que demande Phys2) utilise le fait que...
Comme je ne suis pas devin, je ne sais pas ce qu'utilise Phys2 pour prouver son résultat...Je ne suis pas de cet avis, car l'implication trouvée par Phys2 utilise seulement le fait que
Très spécial en effet ! il est générateur de l'idéal des polynômes annulateurs dealors que la réciproque (que demande Phys2) utilise le fait que
qui, au vu du théorème de Bézout, n'est autre que le résultat demandé.
La solution était effectivement simple...Merci
If your method does not solve the problem, change the problem.
Bien sûr ceci est tout à fait correct, pas de soucis.Très spécial en effet ! il est générateur de l'idéal des polynômes annulateurs de
Mais évidemment, on remarque que la minimalité den'est utilisée que pour le sens
.
La réciproque n'a besoin que de(par exemple), et non de la minimalité de
Dire qu' <<il n'y a pas lieu de distinguer une implication et sa réciproque>>, cela revient à dire qu'il n'y a pas lieu de distinguer un polynôme s'annulant en
Mais bon, on peut tout mettre au même niveau, et ne rien dégager.
On distingue bien les deux notions puisqu'on utilise la structure de l'ensemble des polynômes annulateurs en tant qu'idéal principal : l'énoncé «Dire qu' <<il n'y a pas lieu de distinguer une implication et sa réciproque>>, cela revient à dire qu'il n'y a pas lieu de distinguer un polynôme s'annulant enest annulateur de
Mais distinguer les deux sens de l'équivalence, c'est détourner en mauvaise part la définition du générateur de l'idéal.
Je ne vois pas ce qu'il y a de mauvais en disant qu'un générateur de l'idéal est
(1) un élément de l'idéal et
(2) un diviseur de tout élément de l'idéal.
Dans le même esprit "binaire", une équivalence est deux implications réciproques.
Or justement, l'assertion (1) provoque une implication, l'assertion (2) provoque la réciproque. Je trouve cela intéressant de voir ce que les petites assertions (1) et (2) impliquent respectivement, sans tout mettre dans la même boite d'où sort effectivement l'équivalence.
Ce n'est pas votre avis, certes. Peut-être que je coupe les cheveux en quatre...
Mais est-ce si naturel et universel d'agir par équivalence ? Pourquoi Phys2 n'avait-il fait qu'un seul sens ? Dans bien d'autres cas, ce genre de dichotomie est importante, donc pourquoi le renier ici ?
