Série entière

[invite8d54258a]

Bonsoir,
j'ai besoin d'un petit éclaircissement. Puis-je écrire la chose suivante :


Le produit de Cauchy, pourquoi peut-on le faire ? Et pour quelles valeurs de x ?
Merc i!
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[invite899aa2b3]

Il y a pas mal de fois où tu divises par .
Sinon, on peut le faire dès lors que les séries sont absolument convergentes.

[cleanmen]

salut,
tu peux dire sans risque que ton produit de cauchy a un rayon de cvrgce superieur ou égal à 1.

[invite8d54258a]

Mais ici, les deux séries entière en jeu sont normalement convergente sur ]-1,1[, donc absolument convergente non ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[cleanmen]

le produit de deux séries entieres a un rayon de cvgrce superieur ou egal au min des deux rayons de cvrgce.
On peut donccclure ac ta rq que le rayon est superieur ou égal à 1.

[breukin]

Le tout en recalant les indices, selon la juste remarque de girdav.

[invite8d54258a]

Oui, pardon. C'est :
.

Mais j'ai toujours un doute. Ce qui autorise à faire le produit de Cauchy de deux séries, c'est lorsque celles-ci sont absolument convergente :
si et sont deux séries absoluments convergente alors la série de terme général est convergente avec :

.

Ici, les séries sont normalement convergente sur ]-1,1[ donc absolument convergente (c'est ce passage qui me perturbe) et donc on peut faire le produit de Cauchy.

Enfin, comment faire l'étude du signe de la suite . Je sais que c'est une série alternée qui converge, mais pour le signe ?!

[cleanmen]

la cvrgence normale entraîne évidemment la cvrgence absolue. Il suffit de se réferrer à la definition: la norme infini est le sup de ...

[invite8d54258a]

Euh, euh, oui c'est vrai
As-tu une idée pour la série alternée ?

[cleanmen]

ben... elle me paraît bizarre cette suite pcq pour k=n, il y a un truc pas cool qui se produit ^^

[God's Breath]

Ici, les séries sont normalement convergente sur ]-1,1[

J'ai un gros doute sur cette convergence normale.

[cleanmen]

il y a cvrgce normale sur le disque ouvert de convergecne.

[God's Breath]

il y a cvrgce normale sur le disque ouvert de convergecne.

Certainement pas.
Sinon, on en déduirait que la série converge.

[cleanmen]

oui mais le disque ouvert de cvrgce ici c'est ]-1,1[

[God's Breath]

Et alors ?

Le terme général de la série entière a une limite en et une limite en .

S'il y avait convergence uniforme sur , les séries et seraient convergentes.

[cleanmen]

d'accord j'ai compis maintenant.
En fait la cvgrce est normale sur tout compact du disque ouvert de convergence. non?

[God's Breath]

Oui, la notion de convergence normale (ou uniforme) sur tout compact s'impose pour les séries de ce type.

[invite8d54258a]

Pour les séries entières il y a donc convergence normale sur les compacts de ]-R,R[ ?
Quand à la remarque de cleanmen, ou me suis-je trompé dans le produit de Cauchy ? C'est vrai que pour k=n, il y a un bon petit problème ...

[breukin]

C'est encore une histoire d'indices :

[invite8d54258a]

Merci beaucoup.