[Topologie] Continuité

[invite6f47c162]

Bonjour, dans un cours j'ai lu cette définition de la continuité :



Peut-on montrer que cette définition est équivalente (dans des espaces convenables au moins) à celle de la continuité dans les espaces métriques/normés/réels ? Et comment ?

Merci
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[invite986312212]

oui on peut comme dirait Barak. Il suffit de se rappeler que est équivalent à (la boule ouverte de centre et de rayon ) .

[invite6f47c162]

C'est effectivement comme ça que j'ai démarré (pour avoir tout de suite des ensembles). Partant de la continuité "classique", j'essaye de montrer qu'alors est ouvert ; en montrant qu'on peut y inclure une boule ouverte. C'est là que ça bloque un peu, je ne vois pas comment faire...

[invite986312212]

tu considères . Puisque est ouvert, il existe un tel que la boule ouverte . Puisque est continue il existe tel que entraîne ou en d'autres termes i.e.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6f47c162]

Merci pour la réponse - rapide ! J'ai aussi pu facilement faire la réciproque du coup.

Mais quel est l'intérêt de définir comme ça la continuité ? Il y a des espaces pour lesquels on ne peut pas définir de distances ?

[invite57a1e779]

Il y a des espaces pour lesquels on ne peut pas définir de distances ?

Bonjour,

Il existe effectivement des espaces topologiques non métrisables, par exemple C⁰([0,1],R) pour la topologie de la convergence simple.