Problème d'égalité

[MagAxX]

Comment prouver à l'aide de cette égalité : f(x)² = 1 ; que f est une fonction constante, sachant que f est continue sur R ?


Je pensais au théorème des valeurs intermédiaires, mais je ne vois aps trop comment l'appliquer.

Merci d'avance.
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[Coincoin]

Salut,
Je suppose que l'expression que tu donnes est vraie pour tout x...
Quelles sont les solutions possibles pour un x donné de cette équation ?

[Bleyblue]

Je dis peut-être des bêtises mais si tu prend la racine carrée des deux membres de ton égalité, ça ne va pas ?

Tu auras soit f(x) = 1 soit f(x) = -1 pour tout x dans IR étant donné que f(x) est continue ...

EDIT : Croisement avec CoinCoin ...

[MagAxX]

Oui Oui, c'est vrai pour tout x ... donc prendre la racine marche ... mais ne résout pas notre problème qui est de montrer que cette fonction est constante ....

[A voir en vidéo sur Futura]

[Bleyblue]

Mais pourtant il me semble qu'on vient de montrer que :

Soit f(x) = 1 pour tout x dans IR

soit f(x) = - 1 pour tout x dans IR

non ?

EDIT : Non c'est des bêtises pardon , ce que dit Coincoin devrait pourvoir te permettre de comprendre

[Coincoin]

Donc ta fonction vaut en un point donné soit 1 soit -1. Supposons qu'elle ne soit pas constante. Comment passes-tu de -1 à 1 ?

[Coincoin]

Bleyblue, soit tu as sauté des étapes, soit tu as loupé quelque chose.
"f(x)²=1 pour tout x€R" implique "(f(x)=1 ou f(x)=-1) pour tout x€R" et non pas "(f(x)=1 pour tout x€R) ou (f(x)=-1 pour tout x€R)"

[MagAxX]

Elle passe certes de 1 à -1 .... mais il y a un problème vu qu'elle est continue, et donc ne peut passer de 1 à -1 "d'un coup" ...

[Bleyblue]

Bleyblue, soit tu as sauté des étapes, soit tu as loupé quelque chose.
"f(x)²=1 pour tout x€R" implique "(f(x)=1 ou f(x)=-1) pour tout x€R" et non pas "(f(x)=1 pour tout x€R) ou (f(x)=-1 pour tout x€R)"

En effet, j'ai modifié mon message pour signaler qu'il s'agissait d'une ânerie ...

mais il y a un problème vu qu'elle est continue, et donc ne peut passer de 1 à -1 "d'un coup"

Eh bien justement je pense que l'astuce est la. Soit ta fonction vaut 1 partout soit elle vaut -1 partout (autrement elle serait discontinue)

[Coincoin]

Donc si on suppose qu'elle n'est pas constante, vu qu'elle est continue, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, on trouve qu'on devrait avoir des x pour lesquels f(x)²=1 (les x correspondant au passage d'une valeur à l'autre).
Donc par l'absurde, on vient de montrer qu'elle est constante.

[nissart7831]

Bonjour,

pour démontrer cela rigouresuement, utilise la définition de la continuité.Tu es bien parti, il n'y a plus qu'à conclure en beauté.

EDIT : croisement avec Coincoin