Problème d'égalité dans une équation

[invitebc2a6d05]

Bonjour,
il s'agit de la résolution d'une équation différentielle de second ordre sans second membre.
Pour le discriminant négatif, donc racines complexes conjuguées, on obtient une égalité une solution de l'équa diff notée y écrite dans l'accollade, ensuite, il y a une remarque puis, juste en dessous et toujours dans l'accollade, on obtient y(t).
Ce que je ne comprends pas c'est comment, à partir de la première formule de y évoquée et de la remarque on obtient la deuxième formule notée y(t).
Merci à tous ceux qui pourront me donner un coup de main.

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[invitebc2a6d05]

il y a apparemment eu un problème pour le fichier joint bmp... apparemment trop gros.

[invitea29d1598]

si tu arrives pas à réduire la taille, latex est pas si difficile que ça...

tu as un mode d'emploi dans le forum "vie du forum" (ou pas très loin)

[invitebc2a6d05]

y = exp t * [C₁ exp (jt) + C₂exp(-jt)]

RAPPEL:
cos = [e^j+e^-j] / 2

sin = [e^j-e^-j] / 2j


Donc:
y(t) = e^t * [A₁cos(t) + B₁sin(t)]

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebc2a6d05]

HELP, PLEASE !!!


Vous pouvez m'aidez, svp,
comment à partir de la première expression de y et du rappel, on arrive à la dernière formule y(t)???

J'ai passé pas mal de temps à chercher et ça a été la prise de tête.

[invite4d7a968b]

Tu utilses les rappels pour exprimer les deux exponentielles en fonction de cosinus et sinus, puis tu réinjecte dans la première formule

[invitebc2a6d05]

C'est ce que j'ai fait et refait, mais à chaque fois je trouve une formule du type:
y(t) = e^t * [A₁cos(t) + B₁sin(t) + C]

au lieu de:

y(t) = e^t * [A₁cos(t) + B₁sin(t)]

[invite8915d466]

comment tu peux avoir un terme constant C si tu remplace par et
par

??
NB pour que la solution soit réelle, C1 et C2 doivent être conjugués, ce qui assure que A1 et BA sont réels.

[invitebc2a6d05]

Aprés y avoir encore une fois réfléchi, j'ai trouvé:
2 cos + 2j sin = e ^j + e^-j + e - e^-j
D'où:
cos + jsin = e^j

Et:
2 cos - 2j sin = 2e^-j
D'où:
cos - jsin = e^-j

A partir de là, on a:
C₁e^j + C₂e^-j
= C₁[cos + jsin] + C₂[cos - jsin ]
= (C₁ + C₂)cos + (jC₁ - jC₂)sin

On a donc A₁ = C₁ + C₂ et
B₁ = jC₁ - jC₂
Est ce correct jusque là?
Ca sent le grillage de neurones aprés une longue semaine et un week end trés studieux... lol c'est pour ça que je suis un peu
En tout cas merci à vous, vous avez été ma lanterne sur ce coup là.