Bonjour,
J'ai l'endomorphisme u de R[X] qui à P associe : (X²+X)P''+(2X+1)P'
Je dois montrer que le degré de u(P) est inférieur ou égal au degré de P. Le problème c'est que je trouve que cela fonctionne uniquement pour un polynôme P de degré 0, 1 ou 2 et je ne vois pas comment le généraliser....
Merci d'avance
Si P est de degré n,
– quel est le degré de P''? quel est le degré de (X²+X)P'' ?
– quel est le degré de P'? quel est le degré de (2X+1)P' ?
La conclusion sur le degré de u(P) est alors immédiate.
Bonjour,
Que peut-on dire du degré du dérivé d’un polynôme ? Que peut-on dire du degré d’un produit de polynômes ?
Édition : message croisé avec le précédent qui est plus précis.
On peut dire que le degré de P' est : n-1
P'' est : n-2
donc le degré de (X²+X)P'' est de 2(n-2) et que le degré de (2X+1)P' est de (n-1).
A partir de la le degré de u(P)< max (2(n-2), n-1) mais je ne trouve pas que c'est inférieur a n ...
Non, le degré de (X²+X)P'' n'est pas 2(n-2) mais 2+(n-2)
De même, le degré de (2X+1)P' n'est pas (n-1) mais 1+(n-1)
Ah oui d'accord !
Merci beaucoup !
Je vais pouvoir continuer l'exercice comme ça
Je dois trouver la matrice de u sur la base {1,X,X²....X^n}
La première colonne est composée uniquement de 0 ...
Est-ce normal ?
Il n'y a aucune règle qui interdise à la première colonne d'une matrice de n'être composée que de termes nuls.
Pour la matrice nulle, c'est même la cas pour toutes les colonnes.
Merci
J'ai donc trouvé la matrice de u dans la base canonique, c'est une matrice triangulaire. J'en ai donc déduit ses valeurs propres et j'ai montré que u était diagonalisable.
On me demande maintenant de montrer que pour tout entier n supérieur ou égal a 1, il existe un unique polynôme Pn de degré n et de coefficient dominant égal à 1 tel que u(Pn)=n(n+1)Pn. Puis ensuite d'exprimer Pn en fonction d'un polynôme Q tel que Q(X)= somme de k=0 à n des ((n+k)!/(n-k)!(k!)²)X^k
J'ai essayé d'écrire le polynôme P sous la forme : a0 + a1X +.....+X^n et de regarder son image par u mais je n'obtiens pas vraiment le résultat demandé :/
La relation : u(Pn)=n(n+1)Pn fournit une relation entre les coefficients ak et ak+1 du polynôme Pn.
En notant bk le coefficient du terme de degré k de Q, il s'agit de prouver, par récurrence, que ak/bk a une valeur sympathique.
Je ne comprends pas
Pour la première partie de la question comment je peux prouver l'existence de P sans me servir de Q ?
Un petit peu d'aide svp ...
En utilisant les valeurs propres ?
Donc en me servant du polynôme caractéristique du u ?
Ecris, pour chaque valeur propre, la définition d'un vecteur propre associé.Envoyé par lamba10
Je dois prendre des polynômes comme vecteurs associés ?
Je viens de remarquer que n(n+1) est ma dernière valeur propre elle correspond au dernier terme de la diagonale de ma matrice mais à partir de là je n'arrive pas à faire le lien ...
Je sais que si x est vecteur propre de u associé à la valeur propre l avec x non nul alors u(x)=lx...
Pour la valeur propre l=n(n+1), ce que tu viens d'écrire ressemble furieusement à la définition de Pn.
De quel espace vectoriel u est-il un endomorphisme ?
C'est un endomorphisme de R(X) donc on a P valeur propre lorsque P non nul et u(P)=lP
Mais je ne sais pas lequel prendre
Il faut se servir du polynôme Q donné par l'énoncé...
Ce polynôme nous ai donné pour la question suivante ...
Alors, je ne peux que reprendre ma précédente indication.
Mais quel est l'importance que an soit égal a 1 ?
L'existence de Pn découle de ce que n(n+1) est valeur propre de u, la condition de coefficient dominant sert à établir l'unicité.
Je suis complétement perdu
Encore une fois, tu poses : Pn=a0+a1X+...+anXn, tu reportes dans la relation u(Pn)=n(n+1)Pn, tu en déduis une relation de récurrence entre ak et ak+1, et, compte-tenu de la condition an=1, tu prouves qu'il y a existence et unicité de Pn.
Cela n'a rien de compliqué, il suffit d'avoir le courage de se lancer dans les calculs.
Je vais me lancer ... Merci beaucoup
J'obtiens :
n(n+1)(a0+a1X+a2X^2+......anX^ n = a1+(2a1+4a2)X+(6a2+9a3)X^2+... .n(n+1)anX^n
Je trouve pas ça vraiment terrible ...
Après qques calculs ...j'obtiens :
ak+1= (n(n+1)-k(k+1))/(k+1)^2 ak
et je trouve a0=0 .... mais je ne me suis pas servie de la relation an=1 :/
