récurrence

[invite979fcc20]

Salut

aujourd'hui en cours (L1 science de la matière) on a parlé du raisonnement par récurrence le prof a dit qu'on peut l'utiliser seulement quand n est un entier naturelle

je me suis dit que si on apporte de petite modification au raisonnement on pourrai l'appliquer au nombre entier relatif pour cela :

a) on démontre par récurrence la proposition pour tout n>0

b)après pour démontrer la proposition pour n<0 en utilise le raisonnement par récurrence mais a la place démontrer que si P(n) est vraie alors P(n+1), on démontre plutôt que si on a P(n) alors on a P(n-1).

j'ai expliquer ma méthode au prof il ma dit que je me trompais.

alors ou es que je me trompe ??
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[Médiat]

Bonjour,

Je ne vois pas de problème, pour s'en convaincre, il suffit de transformer la formule à démontrer en posant n = -m et en raisonnant sur m qui est positif.
Attention cependant, les deux démonstrations (n > 0 et n < 0), peuvent être différentes.

[invite979fcc20]

Merci pour ta réponse et oui je m'en doute un peu que les deux démonstration peuvent être différente.

juste un petite éclaircissement après avoirs posé n=-m on démontre que

si P(n) est vrais alors P(n-1) est vrais ??
OU
si P(n) est vrais alors P(n+1) est vrais ??

parce que je pense que la deuxième est fausse.

Merci

[Médiat]

Bonjour,

Si vous avez une formule P(n) dont vous devez montrer qu'elle est vraie pour tout n négatif, vous posez n = -m ce qui vous donne une formule Q(m) sur laquelle vous faites une récurrence "normale".

Par exemple, si vous voulez démontrer par récurrence que , pour n négatif, vous posez et vous avez à démontrer que , où m est positif, donc vous devez bien démontrer :

si Q(m) est vrai alors Q(m+1) est vrai (comme d'habitude).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite979fcc20]

je suis désole je déteste vraiment contredire les gens qui sont plus âgé ou plus expérimenté que moi mais c'est faut est la raison est la suivante :

la récurrence repose sure le principe suivant :

on démontre que p(n₀) est vrais puis que si P(n) est vrais alors p(n+1) est vrais

exemple
P(1) est vrais donc P(2) est vrais
P(2) est vrais donc P(3) est vrais
P(3) est vrais donc P(4) est vrais

et ainsi de suite sans jusqu’à l'infini

OR dans le cas de n négative tu va démontrer que P(-4) est vrais puis P(-n) est vrais donc P(-n+1) est vrais

donc on aura

P(-4) est vrais alors P(-3) est vrais
P(-3) est vrais alors P(-2) est vrais
P(-2) est vrais alors P(-1) est vrais
P(-1) est vrais alors P(0) est vrais

est ça s’arrête pour que ça marche sure tout les nombre négative il faut choisir le plus petit nombre négative OR il n'y a pas de plus petit nombre négative

par contre ma méthode elle marche sans problème

j’espère que vous avez compris mon raisonnement et j’attends avec impatience votre réponse

Cordialement Dorio

[Médiat]

P(-n) est vrais donc P(-n+1) est vrais

Ce n'est pas ce que j'ai écrit. Essayer avec mon exemple !

[invite979fcc20]

bon enfaite je n'est pas bien compris ce que vous voullez dire alors si vous pouviez m'expliquer ça m'aiderais

[Médiat]

Essayez de faire l'exemple que j'ai donné, où m est positif, donc se traite comme d'habitude.

[invite979fcc20]

OK bon :

supposons que tu veuille démontrer que pour tout n<0 P(n) est vrais

avant tout vous devez démontrer que P(n₀) est vrais,que choisirais tu comme n₀??

je pense qu'il faut qu'une tiers personne doit se joindre a la conversation ^^.

[Médiat]

je pense qu'il faut qu'une tiers personne doit se joindre a la conversation ^^.

Effectivement.

[invite979fcc20]

Salut

je ne sais comment j'ai fait mais c'est vrais que j'avais mal lus votre message, et j'ai complétement loupé l'un d'eux.
mais la c'est bon je pensais que vous démontriez P(n) et non Q(m) désole j'étais un peu pressé quand je lisais votre message .
La tout va bien, toujours est il mon prof de math m'avait dit que je me trompais

Donc merci et désole vraiment