Récurrence

[invite1932ffe5]

Slt à tous,

voici mon énoncé; démontrez par récurrence que
pour tt n de N, pour tt X de R*+

1+X+......+ X^n / n! << e^X

J'ai fait l'initialisation pour n=1 ...
Hérédité: ... prouvons que X^(n+1) / (n+1)! << e^x
Voilà mon raisonnement:

X^n/ n! << e^X
(X^n/ n!) * (X/ n+1) << e^x * (X/n+1)
soit X^(n+1)/ (n+1)! << e^x * (X/n+1)

J'ai ma partie de gauche qui est OK pour la récurrence mais pour la droite comment est-ce que je dois faire ?? Il faut prouver que
e^x*(x/n+1) << e^x N'est ce pas ? Mais comment ?

Merci d'avance !
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[Flyingsquirrel]

Salut,

Hérédité: ... prouvons que X^(n+1) / (n+1)! << e^x

Non, il faut prouver que

[invite1932ffe5]

Salut,

Non, il faut prouver que

Pour prouver que

j'ai fait: 1+...+x^n/ n! + x^(n+1)/ (n+1)! << e^x + x^(n+1)/ (n+1)!
En additionnant x^(n+1)/ (n+1)! de chaque côté. Mais
je n'obtient pas

Il faut comparer e^x + x^(n+1)/ (n+1)! et e^x . Comment dois-je faire ??

Merci d'avance.

[Flyingsquirrel]

Il faut comparer e^x + x^(n+1)/ (n+1)! et e^x . Comment dois-je faire ??

Tu ne peux rien faire, cette majoration n'est pas assez fine : étant donné que (on travaille avec ) tu ne pourras jamais obtenir l'inégalité voulue en utilisant cette méthode.

Par contre, pour prouver l'inégalité en un point donné, rien ne nous oblige à utiliser l'inégalité

uniquement en , on a le droit de l'appliquer pour n'importe quel . Par conséquent il est possible « d'intégrer l'inégalité », c'est-à-dire d'écrire que, pour un donné et d'après la croissance de l'intégrale,

Si tu calcules ces intégrales tu verras que l'on tombe sur l'inégalité voulue.

(désolé si la solution semble tombée du ciel mais je ne voyais pas comment faire pour que tu la trouves tout(e) seul(e))

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1932ffe5]

(désolé si la solution semble tombée du ciel mais je ne voyais pas comment faire pour que tu la trouves tout(e) seul(e))

Merci pour cette aide précieuse .
Je cherche toujours comment intégrer la partie gauche ...
Si je ne trouve tjrs pas, je vous demanderai.

Merci encore

[invite1932ffe5]

Je crois avoir trouvé:

intégrale de ( 1+t+....+t^n/n!)= [ t+1/2t²+.... (1/n!) * (t^n+1)/(n+1) = [ .................. (t^n+1) / (n+1)! ]de x à 0


C'est ça ???

[Flyingsquirrel]

C'est ça ???

Exactement.

[invite1932ffe5]

Exactement.

MERCI MERCI MERCI millllllllles fois !!!

Je saurai à présent vers quel site me diriger en dernier cas si j'arrive pas à faire mes exos de maths !!!!!!!!!


Merci