Nature et Somme d'une Série
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Nature et Somme d'une Série



  1. 20/09/2009, 13h52 #1
    invite3c1ec679

    Exclamation Nature et Somme d'une Série


    ------

    Bonjour,
    J'ai besoin d'une aide pour résoudre ce problème :
    - Donner un équivalent simple de u(n)=1/(ln²2+ln²3+...+ln²n)
    - Déterminer la nature de la série de terme général u(n)
    Merci de votre aide

    -----
  2. 20/09/2009, 14h08 #2
    Flyingsquirrel

    Re : Nature et Somme d'une Série

    Salut,
    Citation Envoyé par tayebchlyah Voir le message
    - Donner un équivalent simple de u(n)=1/(ln²2+ln²3+...+ln²n)
    En encadrant le dénominateur par deux intégrales on peut qu'il est équivalent à en l'infini (et cette intégrale se calcule bien)...
  3. 20/09/2009, 14h37 #3
    invite3c1ec679

    Re : Nature et Somme d'une Série

    Svp! pouvez-vous donner plus de détails?
  4. 20/09/2009, 15h13 #4
    Flyingsquirrel

    Re : Nature et Somme d'une Série

    Comme la fonction est croissante sur on a
    et

    En sommant les inégalités précédentes pour on obtient
    et donc
    ou encore
    Un équivalent de est donc (que l'on peut calculer explicitement) à condition que le membre de gauche de l'inégalité tende vers 1 quand tend vers l'infini.
  5. Aujourd'hui
    A voir en vidéo sur Futura
  6. 20/09/2009, 15h27 #5
    invite3c1ec679

    Re : Nature et Somme d'une Série

    Oui, merci! Mais même en calculant l'integrale, j'arrive pas à trouver la nature de la série!
  7. 20/09/2009, 15h32 #6
    Flyingsquirrel

    Re : Nature et Somme d'une Série

    Citation Envoyé par tayebchlyah Voir le message
    j'arrive pas à trouver la nature de la série!
    Tu trouves quoi pour l'intégrale ? Et ensuite pour l'équivalent ?
  8. 20/09/2009, 15h42 #7
    invite3c1ec679

    Re : Nature et Somme d'une Série

    Bon, j'ai trouvé :
    Mais je n'ai pas trouver d'équivalent!
  9. 20/09/2009, 15h45 #8
    invite3c1ec679

    Re : Nature et Somme d'une Série

    c'est plutôt : ! Désolé
  10. 20/09/2009, 15h57 #9
    Flyingsquirrel

    Re : Nature et Somme d'une Série

    Citation Envoyé par tayebchlyah Voir le message
    c'est plutôt : !
    D'accord. Quand , quel est le terme prépondérant dans cette expression ? Peux-tu montrer que l'intégrale est équivalente à ce terme ?
  11. 20/09/2009, 16h06 #10
    invite3c1ec679

    Re : Nature et Somme d'une Série


    le terme prépondérant c nln²n et en comparant avec la série de Reimann on trouve que la série diverge! :d merci pour ton aide! mais je n'arrive toujours pas à montrer que le terme de gauche de l'inégalité tend vers 1!
  12. 20/09/2009, 16h36 #11
    Flyingsquirrel

    Re : Nature et Somme d'une Série

    Citation Envoyé par tayebchlyah Voir le message
    le terme prépondérant c nln²n
    Oui.
    Citation Envoyé par tayebchlyah Voir le message
    et en comparant avec la série de Reimann on trouve que la série diverge!
    Non, la série ne diverge pas. On peut le montrer en utilisant le théorème de comparaison série/intégrale ou bien les séries de Bertrand si tu les as vues en cours.
    Citation Envoyé par tayebchlyah Voir le message
    mais je n'arrive toujours pas à montrer que le terme de gauche de l'inégalité tend vers 1!
    Pour montrer que
    tend vers 0 on peut encadrer le numérateur par deux fonctions simples (le but est de se débarrasser de l'intégrale avec des ) puis utiliser l'équivalent du dénominateur que tu as déjà calculé.
  13. 20/09/2009, 16h40 #12
    invite3c1ec679

    Re : Nature et Somme d'une Série

    Est-ce-qu'on peut dire que équivaut à :
  14. 20/09/2009, 16h45 #13
    Flyingsquirrel

    Re : Nature et Somme d'une Série

    Citation Envoyé par tayebchlyah Voir le message
    Est-ce-qu'on peut dire que équivaut à :
    On peut, oui, mais il faudrait le prouver. Pourquoi as-tu besoin de cet équivalent ?
  15. 20/09/2009, 16h48 #14
    invite3c1ec679

    Re : Nature et Somme d'une Série

    J'en ai besoin parce que j'ai trouvé une autre inégalité pour donner un équivalent à u(n)! svp pouvez-vous me montrer comment le démontrer?
  16. 20/09/2009, 16h53 #15
    Flyingsquirrel

    Re : Nature et Somme d'une Série

    Citation Envoyé par tayebchlyah Voir le message
    pouvez-vous me montrer comment le démontrer?
    Non, je ne vois pas comment le prouver sans utiliser le fait que .
  17. 20/09/2009, 16h55 #16
    invite3c1ec679

    Re : Nature et Somme d'une Série

    Non, je parle de l'équivalence de la somme et de l'intégrale! SVP aider moi a démontrer l'équivalence de tout à l'heure!
  18. 20/09/2009, 17h19 #17
    Flyingsquirrel

    Re : Nature et Somme d'une Série

    Citation Envoyé par tayebchlyah Voir le message
    SVP aider moi a démontrer l'équivalence de tout à l'heure!
    Le numérateur s'encadre comme ceci :
    Ensuite tu divises tout ça par dont on sait qu'un équivalent est et puis tu conclus.
  19. 20/09/2009, 17h36 #18
    invite3c1ec679

    Re : Nature et Somme d'une Série

    Merci! C'est très gentil de votre part
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