Bonjour, bonsoir,
J'ai un DM de mathématiques consacré à la récurrence qui me pose quelques soucis.
Je vous cite l'énoncé et vous réécris ce que j'ai fait moi :
1. Enoncé :
On rapelle que : 0!=1 et que pour tout entier naturel non nul
n! = n x (n-1) x ... x 2 x 1.
Démontrer par récurrence que pour tout n є N :
n
Σ k.k! = 0x0!+1x1!+2x2!+...+(n-1)x(n-1)!+nxn!=(n+1)!-1
k=0
Ce que j'ai fait :
Nommons la proprité précédente P(n)
Initialisation :
On prouve que la propriété est vraie au rang initial : 0
P(0) signifie que
n
Σ k.k! = 0x0! = (0+1)!-1
k=0
0=0
P(0) est vraie, la propriétée est initialisée.
Hérédité :
On suppose que la propriété est vraie au rang n quelconque de N et on montre qu'elle est vraie au rang (n+1), c'est à dire que :
P(n+1) signifie
n
Σ k.k! = 0x0!+1x1!+2x2!+...+nxn!+(n+1)x (n+1)! = [(n+1)+1]!-1
k=0
Or, d'après l'hypothèse de récurrence :
0x0!+1x1!+2x2!+...+nxn! = (n+1)!-1
Or :
[(n+1)+1]!-1 = (0x0!+1x1!+2x2!+...+nxn!) + (n+1)x(n+1)!
[(n+1)+1]!-1 = (n+1)!-1 x [(n+1)+1]!-1
[(n+1)+1]!-1 = ???
2. Enoncé :
(tout les signes > signifient supérieur ou égal)
Démontrer par récurrence que pour tout n є N, n>4 : 2n>n²
Ce que j'ai fait :
Nommons la proprité précédente Q(n)
Initialisation :
On prouve que la propriété est vraie au rang initial : 4
Q(4) signifie que
24>4²
16>16
Q(4) est vraie.
Hérédité :
On suppose que la propriété est vraie au rang n quelconque de N et on montre qu'elle est vraie au rang (n+1), c'est à dire que :
2n+1>(n+1)²
Or d'après l'hypothèse de récurrence :
2n>n²
2n x 2 > 2n²
2n+1>2n²
???
La réccurence pour moi c'est tout nouveau, je connai pas encore bien les techniques, merci d'avance pour votre aide.
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Envoyé par girdav 
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