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récurrence




  1. #1
    abrou

    récurrence

    bonjourr,
    Je suis en terminale S!
    j'ai un exo a faire en maths sur les récurrence, je suis bloqué, rien dans mon cours m'aide. Si vous pourriez m'aider...

    Un= n(n+1)(2n+1)/6 il faut montrer ceci par récurrence sachant que n est plus grand ou égal à 1.
    merci à tous.

    -----


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  3. #2
    Thorin

    Re : récurrence

    Sympathique, de parler de Un sans nous dire ce que c'est

    Cependant, je conjecture que c'est la somme des carrés des n premiers entiers...

    Commence à rédiger le début de la récurrence sur le forum, l'initialisation d'abord, et le début de l'hérédité, pour voir si t'as compris le principe et si ton problème se situe juste dans le calcul un peu délicat de l'hérédité...
    École d'ingénieurs + M1 Physique Fondamentale

  4. #3
    shokin

    Re : récurrence

    Salut ! abrou !

    Citation Envoyé par abrou Voir le message
    Si vous pouviez m'aider...


    Comme à Thorin, ça me fait TILT !

    Démontre que :

    - cela vaut si n=1.
    - si cela vaut pour n, cela vaut pour n+1.

    Fais donc la différence entre (n+1)(n+2)(2n+3) et n(n+1)(2n+1)/6.



    Shokin
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.


  5. #4
    abrou

    Re : récurrence

    alors, je me suis renseigner, Un=1²+2²+3²+...+n²
    alors je commence par l'initialisation
    pour n=1:
    1(2)(3)/6=1 donc c'est ok.
    hypothese: (je la connais)
    Hérédité:
    je dirais (n+1)(n+2)(2n+3)/6
    mais je n'arrive pas a retomber sur l'hypothese, je fais surment une erreur de calcul, si vous pourriez me détailler le calcul sa serait sympas...
    merci d'avance

  6. #5
    shokin

    Re : récurrence

    Citation Envoyé par abrou Voir le message
    Hérédité:
    je dirais (n+1)(n+2)(2n+3)/6
    C'est juste !

    Maintenant, tu dois faire la différence entre Un+1 et Un. Càd :

    (n+1)(n+2)(2n+3)/6 - n(n+1)(2n+1)/6

    = ... (je te laisse effectuer)

    et trouver un carré. Puisque la différence entre deux U consécutifs est un carré toujours.



    Shokin
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    abrou

    Re : récurrence

    salut shokin,
    je comprends pas pkoi je dois faire la différence Un+1-Un

  9. #7
    shokin

    Re : récurrence

    Simplement pour constater que tu as un carré (effectue) ! étant donné que, pour passer d'Un à Un+1, tu ajoutes un carré. [Mais, en fait, ce que je t'ai proposé là n'est qu'une illustration, pas une démonstration. Alors vois ce qui suit : ]



    En fait, pour démontrer cette hérédité, tu pars de l'hypothèse :

    A = 12+22+32+42+...+n2
    B = n(n+1)(2n+1)/6

    dont tu as démontré la validité si n=1.

    Il s'agit de démontrer que : Si ça vaut pour Un, ça vaut pour Un+1, pour tout n naturel non nul.

    C = 12+22+32+42+...+n2+(n+1)2 [Comme A, mais appliqué à n+1 au lieu de n.]
    D = (n+1)(n+2)(2n+3)/6 [Comme B, mais appliqué à n+1 au lieu de n.]

    Il s'agit de démontrer que C=D.

    Effectuons C :

    C = 12+22+32+42+...+n2+(n+1)2
    = A + (n+1)/2 [Tu décomposes en somme de A et de (n+1)/2.]
    = B + (n+1)/2 [A=B, par hypothèse pour Un.]
    = n(n+1)(2n+1)/6 + (n+1)2
    = que je te laisse continuer d'effectuer.

    Effectuons D :

    D = (n+1)(n+2)(2n+3)/6
    = ...

    Et là, tu devrais trouver que C=D.



    Shokin
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.

  10. Publicité
  11. #8
    abrou

    Re : récurrence

    merci beaucoupp sokinn j'ai bien compris, j'ai réussi!

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