ouverts et fermés
salut pour tous
j'arrive pas à comprendre la différence ni entre les ensembles ouverts et fermées ni entre adhérence et intérieure!!
juste je vais donner l'énoncé de l'exercice si dessus:
Déterminer l'adhérence et l'intérieur de chacun des ensembles suivants:
A=[0,1[U ]3,+oo[ ; C={1\n, n appartient à IN} ; D=[√2,4[inter Q
merci bien de votre aide , j'ai vraiment besoin d'une explication
Bonjour,
Je redonne les définitions d'adhérence et d'intérieur pour être sûr qu'on est bien d'accord, n'hésitez pas à le dire si ça coince à ce point.
Un point x est adhérent à un ensemble X si tout voisinage de x rencontre X. De plus (c'est équivalent) l'adhérence de X est l'intersection de tous les fermés qui contiennent X.
x est dans l'intérieur de X s'il existe un boule centrée en x contenue dans X.
Pour A, c'est la réunion (finie) disjointe de [0,1[ et de ]3,+∞[. Avec un peu de chance l'adhérence de A c'est la réunion des adhérence de [0,1[ et de]3,+∞[.
Vous pouvez démontrer cette partie la si x est dans l'adhérence de A, alors tous ses voisinages rencontrent A, donc ils rencontrent [0,1[ ou ]3,+∞[ donc x appartient à l'adhérence de [0,1[ ou à celle de ]3,+∞[ et donc x appartient à l'union de leurs adhérences.
Je vous laisse la réciproque, si x appartient à l'union des adhérences de [0,1[ et de ]3,+∞[, montrez qu'il appartient à celle de A.
(Il se peut que tout ceci fasse partie de votre cours et que ce soit une trivialité, je tente surtout de vous donner des pistes de réflexion sur le sujet)
Vous vous ramenez donc à considérer l'adhérence d'intervalles. Il suffit de fermer les intervalles. Par exemple l'adhérence de [0,1[ est [0,1]. Pareillement, si vous en doutez vous pouvez le démontrer. Par double inclusion, les points de [0,1] sont bien adhérent, il suffit de vérifier pour le point 1. Pour l'inclusion réciproque, en utilisant la deuxième définition de l'adhérence on utilise directement le fait que [0,1] est un fermé.
Pour ce qui est de ]3,+∞[, on a le droit de "fermer" en +∞. [3,+∞[U{+∞}, parfois on ne se gène même pas pour écrire [3,+∞]. L'infini n'est pas un réel, mais c'est tout de même un objet mathématique et on a le droit de l'incorporer dans un ensemble. Ça forme un ensemble mixte, mais ça ne pose pas de problème d'un point de vu formel.
Pour C, j'imagine que vous vouliez écrire n∈ℕ*. Ce n'est pas très grave, mais tout de même ^^. Pour trouver l'adhérence de C il vous faut considérer les points qui ne sont pas dans C mais dont on peut s'approcher autant qu'on veut tout en restant dans C. Il y a un candidat qui devrait sembler assez évident. Il ne reste plus qu'à montrer que C union ce point est l'adhérence de C, c'est à dire qu'il faut montrer que c'est alors un fermé.
Pour ce qui est de D, je ne sais pas ce que vous savez vraiment des caractéristiques topologiques de ℚ et de ℝ. Que savez vous de ℚ d'un point de vu topologique ?
Pour ce qui est de l'intérieur, je vous donne moins d'indications. Essayez de voir dans chaque cas quels sont les points de vos ensembles autour desquels vous ne pouvez pas placer une boule ouverte entièrement contenue dans l'ensemble.
Approche dangereuse, pédagogiquement très discutable. La notion d'ouvert ou de fermé est toujours relative à un certain ensemble. Si on demande l'adhérence dans R, faut rester dans R et ne pas parler d'autre chose. L'adhérence de ]3,+∞[ dans R, c'est [3,+∞[, il n'y a rien à dire de plus sans risquer d'amener de grosses confusions, surtout chez ceux qui apprennent les rudiments de la topologie.Envoyé par S321
Rien à redire sur le reste...
Dernière modification par Amanuensis ; 15/10/2011 à 08h38.
En même temps on ne demande pas l'adhérence dans ℝ, mais l'adhérence tout cours sans préciser de sur-espace ce qui est soit une erreur d'énoncé, soit un erreur de recopiage d'énoncé ^^.
Mais je suis assez d'accord avec toi, c'est assez risqué et c'est pour ça que j'ai voulu bien expliquer ce qu'il se passait. En revanche, d'un point de vu pédagogique, je ne suis pas d'avis de cacher l'existence de ℝU{-∞,+∞}. Ce n'est pas une notion en soit très compliquée, il faut juste faire attention quand on manipule des infinis.
En tout cas une chose est sûr +∞∉ℝ.
ici il faut comprendre qu'on parle de parties de R. Se placer dans Ru{-oo, +oo} n'a rien de naturel. Il y a d'autres façons de compactifier R.
Bonjour,
Parfaitement d'accord.
Mais tant qu'à faire autant dire que la notion d'ouvert ou de fermé est toujours relative à une topologie sur un ensemble (ce qui n'est guère éclairant pour un débutant, je le reconnais).
Dernière modification par Médiat ; 15/10/2011 à 10h03.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
J'avais hésité. Je pense que la prochaine fois je ferai pareil, la topologie de R étant "naturelle".
mercii bien
@nouheful
a) On ne sait pas à qui s'adresse votre dernière remarque (l'étiquette demande de précéder une remarque s'adressant à un intervenant particulier soit par une citation de cette personne, soit par une mention explicite genre "À trucmuche :" ou "@trucmuche :" ; à défaut, on peut considérer que c'est adressé à l'auteur de l'intervention qui précède mais ici cela n'a pas l'air d'être le cas) ;
b) Où en êtes vous quand à l'exercice et/ou la compréhension des notions d'ouverts, fermés, etc. ?
Dernière modification par Amanuensis ; 15/10/2011 à 15h42.
Re : ouverts et fermés
bon, pour les caractéristiques topologiques de IR et IQ je sais que l'adhérence de IR est égale à IR ,de même l'adhérence de IQ est égale à IQ,aussi l'intérieure de IR est égale à IR mais l'intérieure de IQ est égale à l'ensemble vide ,voilà c'est ce que je connais plutôt c'est ce que j'ai appris car j'ai pas bien compris leurs démonstration ?
Tous les autres sont juste mais pas celui-ci. En tout cas ça semble être dans votre cours, donc relisez bien cette partie là, voyez quelle est l'adhérence de ℚ et essayez de comprendre ce que pourrait être l'adhérence de ℚ⋂[√2,4[.
Sinon, les autres adhérences/intérieurs, vous y arrivez ? Sinon, quels sont vos problèmes ?
@S321
comprendre ce que pourrait être l'adhérence de ℚ⋂[√2,4[.
j'ai pas vraiment compris comment la résolu ,je me coince tout le temps ,bon normalement l'intérieure de l'ensemble D=ℚ⋂[√2,4[ est égale à la réunion de l'intérieure de ℚ et à l'intérieure de [√2,4[ d'ou D sera égale à D=ø ⋂ ]√2,4[ =]√2,4[ or dans le cours je trouve le contraire de ce que j'ai fait ,en fait D est inclus ds ℚ donc l'intérieure de D est inclus ds l'intérieure de Q ce qui donne l'ensemble vide d'ou D est égale à l'ensemble vide ,je suis vraiment confusé, je réalise que je n'ai rien compris
de même pour l'ensemble C j'ai pas compris comment on obtient l'intérieure de C qui est égale à l'ensemble vide (je veus une explication précise svp
Il y a un gros problème ici : " ø ⋂ ]√2,4[ = ]√2,4[ "
Pour C, comme C est inclus dans Q, on a tout de suite la réponse.
aussi l'intérieure et l'adhérence de F =IR \ Z???
svp quelqu'un m'explique cet exercice :déterminer l'intérieure et l'adhérence de ces ensembles et dites s'ils sont ouverts ou fermés
A ={1\2^n , n appartient à IN} et B ={cos(2nPi\3),n appartient à Z}
Ps:dsl j'arrive pas à écrire convenablement les notions scientifiques
merci d'avance pour vos aides
