mesure

[invite6997af78]

Salut,

j'ai deux exos sur les mesures.

Soit la tribu

, .

Montrer que est une mesure.

IL faut montrer que l'image de l'ensemble vide est 0 et que est -additive.

L'ensemble vide est dénombrable donc son image est 0, c'est bon.
Pour la -additivité par contre, je bloque...

Soit une suite dans la tribu d'éléments deux-à-deux disjoints. Et apres je sais pas comment partir pour montrer l'égalité :



En attente de conseils, merci !
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[Médiat]

Bonjour Si votre suite ne contient que des ensembles dénombrables, la réponse est simple, dans le cas contraire, pensez-vous que l'on puisse avoir deux ensembles co-denombrables disjoints ?

[inviteea028771]

Je séparerai en deux cas :

est dénombrable, alors :
1)
2) tout les sont dénombrables, d'où :

n'est pas dénombrable, alors :
1)
2) il y a un unique qui n'est pas dénombrable (c'est le point à démontrer: qu'il existe et qu'il est unique), donc

Edit : Grillé par Médiat

[invite6997af78]

Merci de vos réponses.

Pour montrer que le A_n existe et est unique, j'ai tenté par absurde.

L'existence est clair sinon ca serait dénombrable.

Apres, on suppose A_n, A_m non dénombrables.
Donc leur complémentaire le sont.
A_n et A_m étant disjoints leur complémentaire non.

Mais je sais aps si peux en déduire que A_n=A_m.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6997af78]

Re,

je reviens pour mon deuxième exo (juste la fin...)

Soit , la mesure positive définie sur par pour toute partie de .

Déterminer et pour tout dans . Dire si est une mesure sur .

Pour je trouve 0 (si j>=k+1, l'intersection est vide) mais pour il faut faire tendre j vers l'infini mais ca donne quoi ? 0 ou 1 ?

Et pour la seconde partie, je vois pas le rapport...

Merci.

[Seirios]

Bonjour,

Je pense qu'il y a un problème dans la définition de , telle qu'elle est, elle ne dépend pas de A...

Sinon, pour le premier exercice : Si et sont codénombrables et disjoints, alors (qui est indénombrable) est inclus dans le complémentaire de (qui est dénombrable).