Connexité dans un espace vectoriel normé

[invite97a526b6]

Bonjour,
C'est une question sur laquelle je ne suis pas d'accord avec mon cours. Je pense bien sûr que c'est moi qui ai tord mais je voudrais savoir pourquoi.

Mon cours dit:
"Dans un espace vectoriel normé un ouvert est connexe si et seulement si s'il est connexe par arcs continus C¹ par morceaux"
Il me semble que "connexe par arcs continus par morceaux" suffit. Les arcs n'ont pas besoins d'être C¹ par morceaux ?

Quequ'un pourrait-il m'éclairer ? Merci d'avance.
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[invite5c88c159]

Bonjour,

c'est un peu loin tout ca... Mais ce que tu exposes, c'est un theoreme, ou une definition?
Si c'est un theoreme, je te conseillerai de comprendre la demonstration. A priori, il y a deux possibilites:
- soit ce que tu dis est faux, et tu comprendras peut etre pourquoi en apprenant la demonstration.
- soit ce que tu dis est vrai, mais peut etre que la demonstration est beaucoup plus complique, et hors programme.

Cordialement,

[Seirios]

Bonjour,

On peut même dire plus précisément : Dans un espace vectoriel normé, un ouvert est connexe ssi il est connexe par lignes polygonales. La démonstration est identique à celle montrant qu'un ouvert est connexe ssi il est connexe par arcs.

[invite39876]

"Dans un espace vectoriel normé un ouvert est connexe si et seulement si s'il est connexe par arcs continus C¹ par morceaux"
Il me semble que "connexe par arcs continus par morceaux" suffit. Les arcs n'ont pas besoins d'être C¹ par morceaux ?

Quequ'un pourrait-il m'éclairer ? Merci d'avance.

Non, mais la continuité par morceaux des arcs ne garantit pas la connexité par arcs, encore moins la connexité.

Si tu prends dans R la reunion de [0,1] et [2,3] c'est "connexe par arcs continus par morceaux".

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite97a526b6]

Bonjour,

c'est un peu loin tout ca... Mais ce que tu exposes, c'est un theoreme, ou une definition?
Si c'est un theoreme, je te conseillerai de comprendre la demonstration. A priori, il y a deux possibilites:
- soit ce que tu dis est faux, et tu comprendras peut etre pourquoi en apprenant la demonstration.
- soit ce que tu dis est vrai, mais peut etre que la demonstration est beaucoup plus complique, et hors programme.

Cordialement,

C'est un théorème, mais donné comme un rappel sensé être connu donc sans démonstration.

[invite97a526b6]

Bonjour,

On peut même dire plus précisément : Dans un espace vectoriel normé, un ouvert est connexe ssi il est connexe par lignes polygonales. La démonstration est identique à celle montrant qu'un ouvert est connexe ssi il est connexe par arcs.

Donc d'après ce que tu dis, les arcs n'ont pas besoin d'être C¹ par morceaux

[invite39876]

Les "lignes brisées" sont bien C1, par morceaux.

[invite97a526b6]

Non, mais la continuité par morceaux des arcs ne garantit pas la connexité par arcs, encore moins la connexité.

Si tu prends dans R la reunion de [0,1] et [2,3] c'est "connexe par arcs continus par morceaux".

Je ne pense pas que [0,1] union [2,3] soit "connexe par arcs continus par morceaux" ou alors je ne comprends rien à rien...

[invite97a526b6]

Bonjour,

On peut même dire plus précisément : Dans un espace vectoriel normé, un ouvert est connexe ssi il est connexe par lignes polygonales. La démonstration est identique à celle montrant qu'un ouvert est connexe ssi il est connexe par arcs.

Donc pas besoin d'êtr C¹ par morceaux !

[invite39876]

Je ne pense pas que [0,1] union [2,3] soit "connexe par arcs continus par morceaux" ou alors je ne comprends rien à rien...

Bah, l'arc de [0,1] dans R defini par t ->2t pour t dans [0,1/2] et 2+2(t-1/2) pour t>1/2 me semble bien etre continu par morceaux, et relier 0 et 3 tout en restant tout le temps dans [0,1] union [2,3]

[invite97a526b6]

Les "lignes brisées" sont bien C1, par morceaux.

Autant pour moi. Mais ma question est ouverte :
Un ouvert d'un e v n connexe est aussi connexe par arcs continus C⁰ par morceaux ? (C⁰ suffit et pas nécessaire C¹)
La réciproque allant de soi.

[invite39876]

Je t'ai dit que la connexite par arcs continus par morceaux, n'impliquait pas du tout la connexite.
Cf mon contre exemple.

[Seirios]

Bloupou t'a donné un contre-exemple, les arcs doivent être continus.

[invite97a526b6]

Bah, l'arc de [0,1] dans R defini par t ->2t pour t dans [0,1/2] et 2+2(t-1/2) pour t>1/2 me semble bien etre continu par morceaux, et relier 0 et 3 tout en restant tout le temps dans [0,1] union [2,3]

Cet arc n'est pas C⁰ car discontinu en t = 1/2. Et de plus je ne vois pas de chemin joignant [0,1] à [2,3] en restant dans [0,1] union [2,3] ??

[invite39876]

Cet arc n'est pas C⁰ car discontinu en t = 1/2. Et de plus je ne vois pas de chemin joignant [0,1] à [2,3] en restant dans [0,1] union [2,3] ??

Ben non, il est pas continu, il est continu par morceaux.
Alors, soit qqch t'echappe, soit tu n'as pas la meme definition de continue par morceaux que moi (et je ne pense pas m'avancer en disant que la communauté des matheux a la meme que moi).

Continu, c'est plus fort que que continue par morceaux.

Pour moi continue par morceaux, sur [a,b], c'est continue sur ]a_i,a_{i+1}[ pour a_i une subdivision de a,b, et prolongeable par continuité sur [a_i,a_{i+1}].
C'est bien le cas de mon arc, et il reste tout le temps dans [0,1]u[2,3].

[invite97a526b6]

Ben non, il est pas continu, il est continu par morceaux.
Alors, soit qqch t'echappe, soit tu n'as pas la meme definition de continue par morceaux que moi (et je ne pense pas m'avancer en disant que la communauté des matheux a la meme que moi).

Continu, c'est plus fort que que continue par morceaux.

Pour moi continue par morceaux, sur [a,b], c'est continue sur ]a_i,a_{i+1}[ pour a_i une subdivision de a,b, et prolongeable par continuité sur [a_i,a_{i+1}].
C'est bien le cas de mon arc, et il reste tout le temps dans [0,1]u[2,3].

Le problème vient que, dès le départ, j'ai mal formulé ma question. Je la reformule afin qu'il n'y ai plus ambiguïté :

"Dans un evn un ouvert est connexe S et SS, il est connexe par un arc continu"
L'arc n'a pas besoin d'être C1 par morceaux, ni même d'être dérivable, la continuité suffit, contrairement à ce qui est dit dans mon cours.
Mon cours dit
"Dans un espace vectoriel normé un ouvert est connexe si et seulement si s'il est connexe par arcs continus C1 par morceaux"

Pardon d'avoir obscurci le débat en formulant mal ma question...

[invite986312212]

salut,

quand tu écris "l'arc n'a pas besoin d'être C1" tu te réfères à une partie de la proposition: celle qui énonce une condition suffisante pour que l'ouvert soit connexe. Maintenant, cette proposition dit que si l'ouvert est connexe alors il existe un arc C1 par morceau entre deux quelconques de ses points. C'est un résultat plus fort.

[invite97a526b6]

salut,

quand tu écris "l'arc n'a pas besoin d'être C1" tu te réfères à une partie de la proposition: celle qui énonce une condition suffisante pour que l'ouvert soit connexe. Maintenant, cette proposition dit que si l'ouvert est connexe alors il existe un arc C1 par morceau entre deux quelconques de ses points. C'est un résultat plus fort.

D'accord, mais qu'en est-il de la justesse ou non de la proposition:
"Dans un evn un ouvert est connexe SI et SEULEMENT SI, il est connexe par un arc continu"

[Seirios]

Le résultat est correct. Une ébauche de la démonstration :

Soit U un ouvert d'un evn E. Si U est connexe par arcs : en fixant un élément x de U, notons pour tout , un arc continu reliant x à y. Alors . Les sont tous connexes et contiennent tous x. Donc U est bien connexe. Réciproquement, si U est connexe, alors en fixant un élément x de U et en notant l'ensemble des points de U pouvant être reliés à y par un arc continu, on montrer que est ouvert et fermé (ce qui est basé sur la connexité locale de E), d'où par connexité, .