p-groupe dont tout les éléments sont d'ordre p

[sailx]

Bonjour à tous :
Voici un petit énoncé sur lequel je but:
Soit G un p-groupe tel que tout ses éléments soient d'ordre p. Montrez que G est isomorphe à

Alors pour n=2 par de problème, mais pour n=3, j'ai des problèmes :
Je n'arrive même pas à montrer que G est abéliens...
en fait, je dit que G/Z(G) (G quotienté par son centre) est un p-groupe satisfaisant les même conditions, mais avec n' inférieur à n donc par hypothèse de récurrence G/Z est isomorphe à un (Z/pZ)â avec a>n (car Z(G) est non trivial)
mais après, impossible de montrer que G est abéliens, et encore moins la suite :/

Si quelqu'un à une idée =)

Merci d'avance
-----

[Tiky]

Bonjour,

Je suppose que G est fini, sinon c'est sans doute faux même si je n'ai pas de contre-exemple en tête.
Déjà on sait qu'un groupe fini est un p-groupe si et seulement s'il est d'ordre une puissance de p.

Dans notre cas, si on a montré que G était abélien, alors on peut appliquer le théorème de structure des groupes abéliens finis.
On sait alors que G est isomorphe à un groupe de la forme :
Avec .

Or comme pour un certain entier n. On en déduit que avec
Si un des , il est alors facile d'exhiber un élément d'ordre . On peut donc conclure.

Il reste à montrer que G est bien abélien.

[sailx]

salut,
Malheureusement, cela suppose connu le théorème de décomposition des groupes abéliens finis, or je n'ai pas ce théorème dans mon cour :/

Et je bloque justement sur la démonstration de G abéliens ... :/

[thepasboss]

Bonsoir,

une idée comme ça, quotiente par un sous groupe H de Z(G) non trivial (ça évite de passer par un absurde pas utile).
Applique l'hypothèse de récurrence, puis ensuite utilise le fait que tous les éléments de G sont d'ordres p pour pouvoir plonger G/H dans G de manière à avoir ta section.
Ie tu construit un sous groupe de G isomorphe à G/H qui a zéro pour intersection avec H.
De là tu peux faire un produit toussa toussa...

Je pense que c'est ça !

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

Bonjour,

Il me semble que l'énoncé n'est vrai que si l'on suppose G abélien. Alors on peut munir G d'une structure de Z/nZ-espace vectoriel, et on en déduit le résultat.

Un contre-exemple pour le cas non abélien (sauf erreur) : est un groupe (muni du produit matriciel) d'odre , non abélien, et tous ses éléments sont d'ordre p (). Il suffit de montrer par récurrence que .