Polynôme dont les racines sont des coéfficients

[invite3ebd6bc8]

J'ai beaucoup de mal à rédiger convenablement, je souhaiterais savoir si ma rédaction est correcte. Je cite:

1.a:

soit ; résoudre dans

Solution:
et

1.b:
En déduire la résolution dans de

Solution:
Dans R on a

1.b:
Résoudre dans de

Solution:
Dans R on a

2: On appelle polynome a coeffcient racines un polynome dont les coefficient sont aussi les racines, (PCR) en les comptabilisant tous du degré 0 au degré du polynome, y compris ceux qui sont nuls.

Montrer qu'un PCR a au moins deux coefficient égaux

Solution: Étant donnée qu'on a un polynôme de degré n qui possède n racines et n+1 coefficient alors pour que P soit un PCR il est nécessaire d'avoir 2 coefficient égaux.

3:Montrer que si P est un PCR de degré n dont le seul coefficient nul est le terme constant, alors est un PCR de degré n-1.

Solution: Soit P un PCR de degré et un polynôme de degré 1, si et, alors

4: Donner tous les PCR de degrées inférieurs ou égaux à deux:

Le polynôme nul est un PCR.

Soit et soit

Par identification P est un PCR si et seulement si
c'est à dire, et


Soit alors P est un PCR si alors

On trouve également

5: donner touts les PCR de degré trois admettants 0 pour racine

Solution: On trouve ,

6: Trouver tous les PCR de degré trois admettant exclusivement -1 ou 1(voir les deux ensembles) pour racines

Solution: On trouve ,,,

7: Soit le PCR tel que

a:Trouver P si'il est produit d'une fonction affine et d'un polynome irréductible du second degré

Solution: P peut s'écrire sous la forme
étant
racine


car est irréductible

de meme pour a_1, a_2, a_3

8:On considère la suite de polynôme telle que : et
Montrer que tous les termes de cette suite sont des PCR

J'ai pensé à le faire avec une récurrence a 2 pas mais je ne parvient pas à terminer l'hérédité.

II:1: Montrer que est une base de , et est une base de

si ont au plus n+1 vecteurs toute famille libre de n+1 vecteur est une base de E.

Or, Bn est une suite de polynôme de degré deux à deux distinct aquel on adjoint le 0 et le 1, on obtient ainsi n+1 vecteurs dans l'ensemble Bn la famille étant échelonné, Bn est une base.

2: On munit E=R[X] du produit scalaire tel que B soit une base orthonormale. Donner l'expression de

Pour cette question j'ai juste développé le produit scalaire....

Et voilà les questions intéressantes

3.a: Trouver le sous-espace

J'ai pensé a utilisé le produit scalaire mais j'obtiens une intersection plus grande que les deux espaces.

J'ai du mal à définir les vecteurs de

est il un élément du plan

?

Je ne parvient pas à déterminer R_2.


Merci beaucoup d'avoir pris le temps de lire.
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[RoBeRTo-BeNDeR]

Bonjour,

1.a) Pour résoudre si l'on met alors par égalité des arguments on a :

donc voilà une première erreur qui m'a sauter aux yeux

3: Montrer que si P est un PCR de degré n dont le seul coefficient nul est le terme constant, alors P/X est un PCR de degré n-1

Alors votre démonstration ne montre que le degré de P/X est n-1 mais ce n'est pas cela qui est demandé il est demandé de montrer qu'il est un PCR

Soit P un pcr de degré n avec son terme constant nul alors il s'écrit :

Mais les racines de P sont tous ses coefficients donc comme deux au moins sont égaux supposons que soit le doublon alors

on a donc

mais aussi :

et on notera Q le polynôme P/X alors on voit bien que:



de plus car est égal à un autre coefficient non nul car seul le terme constant est nul.

Donc on a : donc est un pcr de plus comme tu l'as montré de degré n-1.

(J'ai pas encore pris le temps de vérifier le reste)
RoBeRTo

[invite3ebd6bc8]

En effet, je vais revoir cela merci.