relations entre les coefficients et les racines d'un polynome!

[invite58d94d62]

bonjour! jai un exercice qui me pose pbm!

soient a b c trois nombres complexes, on pose u=a+b+c v=a^2+b^2+c^2 w=a^3+b^3+c^3

exprimer a^4+b^4+c^4 en fonctions de u , v et w
la methode : relations entre les coefficients et les racines d'un polynome!
je sais pas si vous pourriez maider mais merci quand meme!
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[Flyingsquirrel]

Salut,

Une idée : on exprime les coefficients du polynôme en fonction de et puis on utilise l'égalité pour obtenir en fonction de et de .

[invite4c324090]

Si tu par du principe que a,b,c sont les racines d'un polynome (genre (la forme devellopée de (x-a)(x-b)(x-c)^^) et que ce polynome s'ecrit: P(x)=x^3+Ax²+Bx+C
Alors les fonctions symetriques elementaires donnent la propriété suivante:
a+b+c= -A
ab+ac+bc= B (je n ai pas oublié le signe moins)
abc= -C

donc u=-A
Tu peux te debrouiller pour exprimer la somme des a,b,c a n'importe quelle puissance avec ça:
exemple pour la somme des carré(donc ton v):
(a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc= v+2(ab+ac+bc)
d'où v=A²-2B

Ca se complique un peux pour les puissance d'après mais il faut pas forcement bricoler beaucoup...Je te laisse faire^^