groupe d'ordre 10

[invite31581d40]

Bonjour,

En pleins dans les révisions, je suis bloqué sur un sujet

Soit G un groupe d'ordre 10

1. Montrer que G admet un élément p d'ordre 5

Donc pour ça j'utilise le Théorème de Lagrange et comme ord(<p>)/ord(G) c'est ok?

2. On fixe p appartenant à G, p d'ordre 5. Montrer que N=<p> est un sous groupe distingué de G.

N est un sous groupe du G par définition (l'ordre de p est le cardinal du sous groupe de p qu'il engendre)
pi:G--->G/N est une surjection canonique donc d'après un théorème du cours, comme pi est un morphisme de groupes, alors N est un sous groupe distingué de G.
C'est ça?

3. Montrer que G contient un élément q d'ordre 2.

C'est comme 1.

4. On fixe q appartenant à G et ordre de q = 2. Montrer que :
G={qⁱp^j / 0<(ou égal partout) i<1;0<j<4}

alors là j'ai dit que G contenait les élément de p d'ordre 5 et de q d'ordre 2 et que card(G)=10 mais je pense pas que ce soit suffisant

5. Montrer que si l'on a pq=qp alors G est isomorphe a Z/10Z

Si pq=qp tout les éléments de G sont commutatifs (j'ai vérifié) mais après je ne sais pas ...

6. On suppose que pq n'est pas égal à qp
Montrer que qpⁱq^-1=p^-i pour tout i de Z

Aucune idée !!!

Pourriez vous m'aider

Merci d'avance
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[Thorin]

Salut,
pour les questions 1 et 3, je ne vois pas en quoi le théorème de Lagrange te permet d'affirmer ceci.

[invite31581d40]

en fait Lagrange c'est pour la 2! Mais pour la 1 et la 3, il suffit que 5 et 2 divise 10 non?

[invitebe0cd90e]

1) Attention, le thm de Lagrange te dit que l'ordre d'un element divise l'ordre du groupe, mais il ne te garantit pas du tout qu'un element d'ordre donné existe, et d'ailleurs c'est faux en general. Par contre c'est vrai pour les diviseurs premiers, c'est le thm de Cauchy que tu connais peut etre. Sinon il faut le prouver a la main.

2) arg ! tu utilises ce que tu veux demontrer Ca n'est un morphisme de groupe que si N est distingué, et c'est ce que tu cherches a montrer, sinon tout sous groupe serait distingué. Le truc c'est qu'un sous groupe d'indice 2 est forcement distingué. Utilises la definition suivante : un sous groupe est distnigué si les classes a gauce et les classe a droite coincident. Dans ce cas il n'y a que deux classes dans chaque cas donc c'est vite vu.

3) oui, c'est comme 1) mais avec le bon theoreme

4) puisque q est d'ordre 2 il n'est pas dans H=<p>. Or tu dois savoir (ou reprouver) que l'ensemble qH est d'intersection vide avec H, donc ?

5) tu veux montrer que G est cyclique. DOnc il faut trouver un element qui engendre le groupe, ou ce qui revient au meme un element d'ordre 10. Quel peut etre l'ordre de pq si p et q commutent et sachant que 2 et 5 sont premiers entre eux ?

6) remarque d'abord qu'il suffit de montrer que . H=<p> est distingué, donc ... Or, puisque q est d'ordre 2, , donc montre que soit , soit ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite31581d40]

J'ai pas tout compris :S

Deja pour la question 1, je ne sais pas comment le démontrer à la main