Retrouver les probabilités

[invite87602945]

Bonjour,

J'ai un exercice partiellement résolu dont je ne comprends pas comment ils ont trouvé les différentes probabilité des différents états. Faut-il utilisé Bernoulli dans ce cas?
De même je ne suis pas sur d'avoir correctement identifié les deux états 0 et 1. (1 la machine fonctionne, 0 la machine ne fonctionne pas?).

Une unité de production comprend deux machines automatiques qui fonctionnent indépendamment l'une de l'autre. Chaque machine a une fiabilité p au cours d'une journée. Dans le cas où une machine tombe en panne, elle sera réparé pendant la nuit et sera en état de marche le lendemain. Une seule machine peut être réparé à la fois.

Soit Xn le nombre de machines en panne au début de la n-ième journée. {Xn; n = 0,1,2,...} est un processus stochastique à temps discret et à deux valeurs 0 et 1.

On trouve les probabilités :
P00(n) = p²+2p(1-p) = p(2-p)
P01(n) = (1-p)²
P10(n) = p
P11(n) = 1-p

Merci de votre aide.
-----

[invite51d17075]

il doit y avoir une erreur car la somme de ces proba vaut 2 !

[invite87602945]

P00+p01 = p10+p11 = 1

[invite51d17075]

alors je n'ai ps compris l'énoncé.
qu'appelle tu P00,P01,P10,etP11 ?????

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite87602945]

Par exemple pour P01, il s'agit de la probabilité de transition de l'état 0 à l'état 1.

A partir de cela on peut recréer la matrice de transition (Markov) :
paint.png

Mais je m’intéresse ici à comment retrouver ces probabilités.

[invite51d17075]

re,
ce n'est tj pas clair pour moi, s'il s'agit d'une transition.
je n vois pas ou apparaissent les 2 machines dans les états possibles !?!??

[invite87602945]

Ce n'est pas clair non plus pour moi, mais j'ai compris l'exercice comme suit :

P00(n) et P01(n) correspond à l'état de transition de la première machine.
P10(n) et P11(n) correspond à l'état de transition de la deuxième machine.

Après je ne suis pas capable de traduire car je n'ai pas compris dans mon énoncé à quel état correspond 0 et 1. n signifie que l'on répéte n fois l'opération d'où le {Xn = n = 0,1,2 ...}.

[invite87602945]

Par exemple :
Pour P10(n), la probabilité que la machine 2 fonctionne pendant la journée sans tomber en panne : P10(n) = p
Pour P11(n), la probabilité que la machine 2 fonctionne pendant la journée et tombe en panne : P11(n) = 1-p

[Amanuensis]

Pas besoin de Bernouilli ou autre, juste une analyse soigneuse de tous les cas :


P(0->0) = soit aucune panne la veille, p², soit une machine en panne puis réparée et l'autre n'est pas tombé en panne, 2p(1-p); total p²+2p(1-p)

p(0->1) = les deux machines sont tombées en panne (et une réparée) : (1-p)²

p(1->0) = la machine en panne la veille a été réparée, l'autre est restée en bon état : p

p(1->1) = la machine en panne la veille a été réparée et l'autre est tombée en panne : (1-p)

[invite87602945]

Maintenant je comprends mieux les transitions, mais j'ai toujours un problème pour retrouver ces probabilités :

Par exemple pour P10, la machine en panne la veille a été réparé et l'autre est restée en bon état pourquoi on a p et non pas p² ? Puisque l'on a deux machine de fonctionnelle maintenant?

[Amanuensis]

Par exemple pour P10, la machine en panne la veille a été réparé et l'autre est restée en bon état pourquoi on a p et non pas p² ? Puisque l'on a deux machine de fonctionnelle maintenant?

Le cas 1 -> est le cas d'une machine tombée en panne l'avant-veille (disons la A), qui n'a pas été réparée immédiatement parce que c'est l'autre (la B) qui a été réparée. La A est donc restée en panne toute la journée de la veille, elle ne peut pas tomber en panne de nouveau ! La seule variation est donc si la machine B tombe en panne ou non.

Pour ce genre d'exo faut se faire les scénarios en détail, et les traduire en probabilités.

[invite51d17075]

merci Amanuensis,
la définion de P(n,m) ne me sembait pas clair.