Exo partie entière

[invite2ec0a62b]

Bonjour, l'énoncé d'un exo est le suivant
soit A = { /}
1) montrer que A admet un minimum que l'on déterminera ( pour cela, j'ai démontré par récurrence que puis j'ai considéré un autre minorant et j'ai démontré qu'il était inférieur ou égal à 1)
2) montrer que ( facile propriété de la partie entière)
3) En déduire que A admet une borne supérieure que l'on déterminera.
C'est là où je bloque : j'ai démontré que la borne sup existe et que est un majorant de A, j'ai voulu démontrer la deuxième proposition de la caractérisation de la borne sup pr , mais je n'y arrive pas.
Pouvez vous me donner un indice ...
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[invite2ec0a62b]

Je me dit qu'il faut utiliser la caractérisation de la borne sup parce qu il nous ont donné l'inégalité de la question 2

[Tiky]

Bonjour,

Pour la première question, une récurrence est inutile. Il suffit de remarquer que la fonction partie entière est croissante et comme . On en déduit que .

Pour la question trois, il suffit de voir que la question 2 donne directement la caractérisation de la borne supérieure.

[inviteaf48d29f]

Rebonjour,

puis j'ai considéré un autre minorant et j'ai démontré qu'il était inférieur ou égal à 1

Ce n'était pas la peine d'en faire autant. Vous avez déjà montré que que 1 est un minorant de A donc A admet un minimum et ce minimum est caractérisé par la fait d'être un minorant de A qui appartient à A.
Il suffit de montrer que 1∈A ce qui se fait en une demi-ligne ^^. Ça se fait si vite que si j'avais dû le justifier sur une copie j'aurais rien écrit de plus que "1 est un minorant de A et 1∈A donc min(A)=1"

Pour la question 3 il faut que vous montriez que pour tout ε>0 il existe n∈ℕ* tel que |E(n√2)/n-√2|<ε. Posez un ε>0 et regardez ce que vous donne votre inégalité.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2ec0a62b]

Pour on trouve l'inégalité de la caractérisation de la borne sup, mais on ne peut pas poser car si on le fait alors n ne va plus être dans N

[inviteaf48d29f]

La propriété reste vraie pour tout n plus grand que 1/ε. Si 1/ε n'est pas entier, peut être qu'il y a quand même des entiers plus grand que lui

[invite2ec0a62b]

Ah je pense que c bon !
En prenant , alors et en utilisant l'inégalité on trouve l'inégalité de la caractérisation de la borne sup

[inviteaf48d29f]

Vous pouvez l'expliciter en effet, mais je pense que ce n'est même pas la peine. Vous n'avez pas besoin de dire à partir de quel valeur de n ça fonctionne. Il existe des entiers plus grands que 1/ε, on appel n₀ l'un d'entre eux et on a tout ce qu'il nous faut.

Le tout reste juste bien sûr, mais vous vous donnez du mal pour rien ^^.

[invite2ec0a62b]

Oui, je vois ce que vous voulez dire S321 : si on prend un entier strictement supérieur à alors on aura

[invite2ec0a62b]

Merci bien.

[invite2ec0a62b]

Ou plutot, on prend un n tq n > 1/epsilon