Inclusions des espaces de Lebesgue

[invitec811222d]

Bonjour à tous, Voilà je révise mes cours sur les espaces de Lebesgue. Et voici un énoncé non démontré dans mon cours.

Etant donnée un espace mesuré tel que alors les espaces sont inclus par ordre décroissant.

Soit montrons que , soit alors on peut écrire , et car la mesure de est finie, on applique l'inégalité de Hölder, et comme les quantités de droites sont finis , .

Merci de me corrigé s'il y'a erreur.
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[invitea07f6506]

C'est essentiellement ça. Il y a juste des petites erreurs sur les exposants (attention au passage au dual !).

On a , et , d'où, en prenant la racine -ième :



Une remarque au passage : la terminologie est très mal faite, mais il aurait été bien mieux de paramétrer les espaces par . Si je pose , avec dans , l'inégalité de Hölder devient :



et on dispose même de la généralisation suivante :



inégalité qui est valable que soit finie ou -finie, et qui entraîne en particulier la propriété que tu souhaites démontrer (elle se montre de la même manière, d'ailleurs).