limte de suite

[invite5fa594be]

Bjr

A partir de la définition de limite, montrer que :

lim Un = L ⟹ lim (Un)² = L²
n → +∞------ n → +∞

∀ε ∃N ∀n>N ⟹ |Un - L| ≤ ε

|(Un)² - L²| = |Un|.|Un - L| + |L|.|Un - L|
------------ = |Un - L|.|Un|+|L|
------------ ⟹ |(Un)² - L²| ≤ ε . (|Un|+|L|)

ε := ε / |Un|+|L|
⟹ |(Un)² - L²| ≤ ε

je voudrais savoir si c'est correct?

merci
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[invite819c6e68]

Aie, non!
Les valeurs absolues ne sont pas des parenthèses !
Pour t'en convaincre :

ABS( 1^2 - ( -2)^2)) = 3
Et en développant comme tu le fais tu trouves 8 !

Le seul moyen de développer des va est de distinguer les cas:
Ex un < l etc...

Ps : ne pas oublier epsilone > 0

[invite819c6e68]

Aie, non!
Les valeurs absolues ne sont pas des parenthèses !
Pour t'en convaincre :

ABS( 1^2 - ( -2)^2)) = 3
Et en développant comme tu le fais tu trouves 9 !

Le seul moyen de développer des va est de distinguer les cas:
Ex un < l etc...

Ps : ne pas oublier epsilone > 0

[invite819c6e68]

Ce qu'on oublie souvent est que abs( un- l ) < ę <=> l-ę < un < l+ e.
En utilisant cette définition la démonstration est triviale.

Attention la encore a ne Pas écrire -2 < 1<2 <=> (-2)^2 < 1 < 4

Excusez moi pour le double post, si un admin peut supprimer

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5fa594be]

re:

dans ce cas :

A partir de la définition de limite, montrer que :

lim Un = L ⟹ lim (Un)² = L²
n → +∞------ n → +∞

∀ε ∃N ∀n>N ⟹ |Un - L| ≤ ε

|(Un)² - L²| = ( |Un| ). ( |Un - L| ) +( |L| ). ( |Un - L| )
------------ = ( |Un - L| ) . ( |Un|+|L| )
------------ ⟹ |(Un)² - L²| ≤ ε . ( |Un|+|L| )

ε := ε / ( |Un|+|L| )
⟹ |(Un)² - L²| ≤ ε

la c'est correct?

merci

[invitec336fcef]

en fait, il existe un théorème de cours qui permet de conclure, celui du produit sur les limites.

On peut démontrer que si (Un) et (Vn) convergent respectivement vers l1 et l2 (finies) alors leur produit converge vers l1.l2.

Dém. :



ainsi



puis on peut conclure. Le premier terme est le produit d'une suite bornée (puisque Un converge, elle est bornée à partir d'un certain rang) par une suite convergeant vers 0, elle converge donc vers 0. Le second terme converge vers 0. CQFD.

Maintenant, posez Vn = Un pour tout n, et votre démonstration est faite.

CQFD

[invite3d4a2616]

Ton raisonnement reste faux car epsilon ne doit pas dépendre de n . Je te propose ça :

On fixe



Or implique (puisque ) et donc (un+l) est bornée à partir d'un certain rang par un reel M.

On a donc :

et


On a donc

Cordialement

[invite5fa594be]

Re:

merci pour vos explication :

j'ai juste une question a propos de ε

je ne comprend pas pourquoi je ne peux pas poser

ε := ε / ( |Un|+|L| )

a partir d'un certain rang |(Un)² - L²| ≤ ε est vrai quelque soit ε>0 pour moi ca implique que je peux le diviser par n'importe quoi tant que c'est positif même une variable de toute manière l'inégalité doit être vrai pour toutes valeurs positives

au final si je part de l'inégalité a démontrer j'ai bien :

|(Un)² - L²| ≤ ε
|(Un - L).(Un+L)| ≤ ε
|Un - L|.|Un+L| ≤ ε
|Un - L| ≤ ε / |Un+L| c'est équivalant |Un - L| ≤ ε car ∀n [ ε/|Un+L| ] ∈ ]0;+∞[ et ε ∈ ]0;+∞[
l'importance de l'inégalité réside dans le fait que ε prend toutes valeurs positives et pas une en particulier
non?

[invite5fa594be]

re bonjours

oui non?

[invite3d4a2616]

pour moi le epsilon doit être fixé dès le début et ne pas dépendre d'un certain rang à partir du quel .... c'est ce qui me gêne. Maintenant, ta rédaction est peut être correcte, demande à ton prof (t'es étudiant ?).

[invitec336fcef]

C'est une excellente remarque. est complètement indépendant du comportement de la suite. Autrement dit, vous vous donnez , et après, vous posez votre définition. Vous ne devez en aucun cas choisir pour que cela arrange votre démonstration. car si je veux prendre un qui n'est pas de la forme que vous préconisez, que se passe-t-il pour votre démonstration ?

[invite5fa594be]

re bsr

je pose la def:

∀ε>0 ∃n0∈N ∀n>n0 ⟹ |Un - L| ≤ ε

partir du rang n0 on peut choisir n'importe quel ε il doit vérifier l'inégalité, en gros je pose :

ε = 10
ε = 0.00001
ε = 0000000000.8

ca dois marcher

si je pose ε := ε / ( |Un|+|L| )

ca change quoi finalement ?

ε / ( |Un|+|L| ) = 10 / 2005
ε / ( |Un|+|L| ) = 0.00001 / 2504
ε / ( |Un|+|L| ) = 0000000000.8 / 1980

Quelles que soient les valeurs de |Un|+|L| ca dois de toute manière tjr être vrai.
De toute manière je me répète pour moi c'est absurde de donner une valeur à ε ce qui rend l'inégalité utilisable en démonstration c'est l'intervalle que représente ε dans notre cas ]0;+∞[ , à moins que je me trompe je vois plus ε comme un ensemble.C'est pour ca que d'un point de vue purement logique :

poser ∀ε>0 :

|Un - L| ≤ ε

|Un - L| ≤ ε/|x| (x étant une variable quelconque)

nos deux conditions impliquent exactement la même chose car ε représente pas un entier en particulier mais tous ℝ+ en même temps.

si je me trompe j'arrive pas a comprendre que :

|Un - L| ≤ ε ⟹ |(Un)² - L²| ≤ ε

car:

|(Un)² - L²| ≤ ε
|(Un - L).(Un+L)| ≤ ε
|Un - L|.|Un+L| ≤ ε
|Un - L| ≤ ε / |Un+L|

je suis effectivement étudiant en math/info c'est les vacances xD pas de prof sous la main

merci