polynôme

[invite371ae0af]

bonjour,

j'aurai besoin d'aide pour cet exo
soi M dans Mn(C), P un polynôme de degré n et a1,...an les valeurs propres de M
montrer que det(P(M))=P(a1)...P(an)

je ne vois pas comment partir, j'ai essayé une récurrence mais ce n'est pas ca

merci de votre aide
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[Tiky]

Bonjour,

Utilise le fait que dans , toute matrice est trigonalisable.

[invite371ae0af]

j'ai posé D une matrice triangulaire supérieure
D=N^(-1)MN
mais comment montrer que det(P(D))=det(P(A)), j'ai réussi à montré detD=detA

et j'ai P(D)=poIn+p1D+...+pnD^n mais comment former la matrice P(D)?

[Tiky]

Soit et une matrice triangulaire supérieure telle qu'il existe inversible vérifiant :


On considère le polynôme à coefficients complexes
On remarque que pour tout entier ,

Alors
Maintenant on sait que le déterminant est un invariant de similitude, donc
D'autre part le produit de deux matrices triangulaires supérieures et la somme de deux matrices triangulaires supérieures est une matrice triangulaire supérieure. Donc est triangulaire supérieur.
On en déduit que son déterminant est le produit des éléments de sa diagonale. Il est facile de montrer que ces éléments sont alors les avec les valeurs propres de .

[A voir en vidéo sur Futura]