Equation differentielle, PCSI

[invitef98eefdc]

Bonjour. je souhaite résoudre ( E) : t*exp(y)*y'-2*exp(y)+t²=0 ou y:]0,1[.

1) on pose z=exp(y), déterminer l’équation différentielle vérifie par z et la résoudre.
2) déduire la résolution de (E)
3) existe t'il des solutions définie sur ]0,+linfini[

Bon , j'ai dérivé z'=y'*exp(y) et donc j'ai dit que (E1) : z'-2z=0 , sa je peut le résoudre . Mais sa m'aide pas pour la résolution de (E) , d’ailleurs dois je transformer (E) ?
Pouvez vous me lancer sur une piste ou m'aider svp.

( autre exo ) De meme je suis bloquer sur f'(x)+f(-x)=exp(x). car je ne sais pas que faire du f(-x).

voila , pouvez vous m'aider svp ?
Bonne journée , merci d'avance.
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[invitef98eefdc]

Je sais pas comment éditer alors je fait un double post.
Voila où j'en suis:

1) (E1) E1) <=> t*z'-2z+t²=0 <=> z'-(2/t)*z=-t ( possible car t appartiens à ]0,1[ )

équation homogène z'-(2/t)*z=0. On pose b : t->-(2/t) de primitive B:t->-2ln(t) ( possible car t>0)
solution général Aexp(2ln(t))=At².

particulière de la forme A(t)*t² , ... A'(t)*t²=-t donc solution particulière -ln(t)*t² ( toujours pas de problème ).

Ensemble de solution de E1 : -ln (t)*t²+At²=t²( - ln(t) +A ).

Sur ]0,1[ 1>t²>0 donc ln(t)<0 soit z positive. Donc y=ln(z) possible.

2) existe t'il des solutions de (E) définies sur ]0,+linfini[.

Sur ]0,+linfini[ t²>0 , ba cela dépend la constante A car si t>1 ln(t)>0 donc -ln(t)<0 donc il faut que A>ln(t) ???

3) Effectuer la résolution de (E) sur ]-1,0[ puis sur ]-1,1[.

ba la des l’équation homogène sa bloque , comment faire ?

[Tiky]

Bonjour,

Pour le second exercice, je suppose que l'équation est vraie sur un intervalle symétrique par rapport à 0. On a alors :

Donc f' est dérivable. On dérive l'équation d'origine :

Et on a :

On somme les deux équations :


Le reste est facile.

[invitef98eefdc]

Merci Tiky.

résoudre cela ne va pas me poser problème. Ensuite je ferai la synthèse .

Je ne comprend juste pas pourquoi il y a la précision : sur un intervalle symétrique par rapport à 0

[A voir en vidéo sur Futura]

[Tiky]

On résout des équations différentielles sur des intervalles d'une part et d'autre part si l'équation est vraie sur l'intervalle I, alors si x est dans I, il faut que -x soit dans I pour la troisième équation de mon message précédent soit correcte.

[invitef98eefdc]

Ok merci , Je trouve chx + Acosx + Bsinx .

En derivant et en rajoutant f(-x) : shx -Asinx +Bcosx +chx +Acosx-Bsinx .. sa fait pas exp(x) :'(

[Tiky]

Je ne vois pas d'erreur dans mon raisonnement et ton résultat me semble juste. L'équation n'a peut-être pas de solution (au moins sur un intervalle symétrique par rapport à 0). Quel est l'énoncé exact ?

[invitef98eefdc]

Non non sa marche faut juste que A=-B comme sa tout les cos et sin partent et sh +ch sa fait bien exp(x) . Je ne sais pas comment introduire justement le fait que A=-B ..

[Svenn]

En derivant et en rajoutant f(-x) : shx -Asinx +Bcosx +chx +Acosx-Bsinx .. sa fait pas exp(x) :'(

Tu as deux variables, hors ton équation initiale est du premier degré donc la solution doit dépendre d'un unique paramètre. Cela signifie que tu dois réinjecter la solution ci-dessus dans l'équation initiale, ce qui va imposer une condition sur les valeurs possibles de A et B. Il ne restera alors plus qu'un paramètre et cette fois ça marchera

[Tiky]

On a raisonné par condition nécessaire. Pour que f soit solution, il est nécessairement de la forme que tu as donné et il faut que A = -B. La réciproque est rapide.
Svenn : ça n'a pas vraiment de sens de parler de dégré pour une équation différentielle qui n'est pas linéaire. A priori f(-x) ne dépend pas linéairement de f(x).

[invitef98eefdc]

Merci à vous deux, je trouve bien le résultat souhaité. N'avez vous aucune idée sur l'exo 1 ? J'aimerai pouvoir commencer à reecrire au propre :$

[invitef98eefdc]

Exercice résolu