[MP] Prolongement d'une application sur un compact

[invite3f53d719]

Bonsoir,

Je dispose au milieu d'un problème d'une application f continue sur K compact, et ne s'annulant pas sur un compact ACK. J'aimerais pouvoir en tirer une application g continue sur K, et ne s'annulant pas sur K, telle que g restreinte à A est f restreinte à A... Est ce que cela est possible?

Merci,

Eric
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[invite3bc71fae]

C'est possible car f est bornée sur A et atteint ses bornes, il existe donc un minimum > 0 ou un maximum < 0 à ta fonction sur A. C'est l'existence de cet extrmum qui te permet d'être sûr de pouvoir construire un prolongement continue qui ne prendra pas la valeur 0.

C'est imagé, à toi de formaliser...

[invitedf667161]

Ca ne me parait pas si simple.

Si ça se passe dans R il n'y a pas de problèmes, on prolonge par les valeurs aux extrémités du petit compact (qui sont non nulles). Mais dès que c'est par exemple en dimension plus grande, tu fais quoi exactement avec ton extremum non nul ??

[invite4793db90]

Salut,

je ne suis pas sûr que le problème ait une solution: dans IR soit K=[0,3], A=[0,1]U[2,3] et f=1 sur [0,1], -1 sur [2,3]. Je ne vois pas vraiment comment prolonger f sans qu'elle s'annule.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3bc71fae]

Tu as raison, il faut sans doute utiliser l'uniforme continuité de f sur K (Heine) pour en déduire qu'il existe une couronne ouverte autour du compact A dans laquelle la fonction f peut ne pas s'annuler (ce qui justifie qu'on précise que K est compact...)

Edit: croisement avec Martini Bird, ah oui, il faut que A soit connexe !!!

[invitec314d025]

Oui si A est connexe ça va marcher.
Mais on est pas obligé de supposer A connexe. A priori il suffit que la fonction ne change pas de signe sur A.

[invite3bc71fae]

il suffit que A soit connexe, je rectifie...

[inviteab2b41c6]

Je pense que c'est une conséquence directe du théorème de Tietze-Urysohn non?

[invite4793db90]

Je pense que c'est une conséquence directe du théorème de Tietze-Urysohn non?

Salut,

c'est sûr mais à mon avis ce n'est pas ce qu'attends le prof d'Eric78...

Cordialement.

[invitec314d025]

Oui si A est connexe ça va marcher.
Mais on est pas obligé de supposer A connexe. A priori il suffit que la fonction ne change pas de signe sur A.

En fait il n'est même pas nécessaire que f soit de signe constant sur A, juste que f soit de signe constant sur chaque composante connexe de K intersectée avec A, non ?

[invite3bc71fae]

Oui, si K est non connexe, la fonction peut avoir des signes différents sur plusieurs composantes connexes sans que f ne s'annule.