Nombre inversible sur l'anneau (Z/4Z, +, x)

[invitea2257016]

Bonjour à tous!

Voila j'ai une question. Dans mon cours sur les corps on a un exemple ou le professeur explique que l'anneau Z/4Z n'est pas un corps car on a 2x2 = 0. Effectivement sur la table d’opération de x (multiplication) sur Z/4Z on a bien 2x2 = 0 car 2x2 = 4 or 4/4 = 1 + 0(reste), reste etant le resultat de l'operation x sur l'anneau Z/4Z. De là le professeur conclut que Z/4Z n'est pas un corps car 2 n'est pas inversible. Je ne comprends pas pourquoi 2 n'est pas inversible à vrai dire.
J'ai remarqué que normalement avec l’opération x sur n'importe quel corps Z/nZ un nombre multiplié par lui même donne 1, or ici 2x2 = 0, mais en quoi cela est-il lié a l'inversibilité s'il vous plait?

Merci d'avance
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[inviteea028771]

Si 2 était inversible, alors on aurai un a tel que 2xa = 1

d'ou 2x2 = 0 => 2x2xa = 0xa => 2x1 = 0 => 2 = 0

[Tiky]

De manière plus général, dans un anneau, si tu as a.b = 0 avec a inversible alors b = 0. On en déduit qu'un diviseur de 0 ne peut pas être inversible.

[invitea2257016]

Merci beaucoup pour vos réponses. Tryss, pour ta dernière implication peut on dire que => 2 = 0 ou 1 = 0?
Car dans mon cour une des conditions pour qu'un anneau soit un corps c'est 1 != 0

[A voir en vidéo sur Futura]

[Tiky]

Aujourd'hui, quand on parle d'anneau, il faut comprendre anneau unitaire. Sachant qu'un anneau est unitaire s'il possède un élément neutre pour la multiplication différent de celui de l'addition (le zéro).
Les conventions changent d'un pays à l'autre et d'une époque à une autre mais je pense que celle-ci est la plus fréquente.

[invitea2257016]

Merci beaucoup