Base et déterminant

**Snowey** · 06/11/2011, 17h40

Bonsoir,
une propriété de mon cours de géométrie affirme (sans démonstration) que toute base $\text{[math]}$ est directe lorsque $\text{[math]}$ .

Pourriez vous m'expliquer s'il vous plait ?
Merci beaucoup.

**God's Breath** · 06/11/2011, 17h44

Que représente $\text{[math]}$ ? la valeur absolue du produit scalaire ?

**Snowey** · 06/11/2011, 17h50

Je viens d'avoir une idée:
Suffit-il d'écrire $\text{[math]}$ un vecteur quelconque dans la base canonique, et de poser la condition $\text{[math]}$ pour que ces deux vecteurs forment une base ?
Car alors, si $\text{[math]}$ , la base est directe est le déterminant vaut $\text{[math]}$
et si $\text{[math]}$ , la base est indirecte et le déterminant vaut $\text{[math]}$ .

Finalement je crois avoir compris, vraiment désolé de vous avoir embêté !
C'était évident en fait ... :/

**Snowey** · 06/11/2011, 17h51

C'était le déterminant, mais LaTex me l'a transformé et je ne l'ai pas remarqué !
De plus, la condition est que le déterminant soit strictement positif et non pas nul !

Pensez vous que le raisonnement soit correct ?

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**Elwyr** · 06/11/2011, 18h09

Bonsoir !

Je ne saurais pas vraiment dire si votre raisonnement est correct (il me semble cependant que vous êtes trop restrictif, votre base est orthogonale, là, non ?). Pour ma part, j'aurais exprimé le déterminant comme le produit des normes (positivies) et du sinus... La base est directe lorsque l'angle est compris entre 0 et pi, c'est à dire quand le sinus est positif, soit encore quand le déterminant l'est.

**God's Breath** · 06/11/2011, 18h14

Je considère le vecteur unitaire $\text{[math]}$ colinéaire à $\text{[math]}$ et de même sens ; on a donc : $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ .

Je considère le vecteur unitaire $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ soit une base orthonormée directe.

Dans cette base, le vecteur $\text{[math]}$ a pour coordonnées $\text{[math]}$ , et le déterminant de $\text{[math]}$ est :

$\text{[math]}$

et il a le signe de $\text{[math]}$ .

Le vecteur $\text{[math]}$ appartient à un des demi-plans limités par la droite dirigée par $\text{[math]}$ , et le signe du déterminant permet de savoir lequel, donc de connaître l'orientation de $\text{[math]}$ .

**Snowey** · 06/11/2011, 18h22

Merci beaucoup a vous, je m'étais en effet limite au cas d'une base orthogonale, ce qui et plutôt simple ...
L'astuce est donc de bien placer la base utilisée pour calculer le déterminant des vecteurs en fait !
Merci encore, et bonne soirée

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