Nombres complexes et trigonométrie

[invite3014c89c]

Bonjour voilà j'ai un problème avec un exercice avec lequel je sais pas trop comment m'y prendre. J'ai peur de mal procéder. Voici l'exo :

Soit fi € R.

(1) Dessiner sur un sch00ema les nombres complexes, 1, exp (i fi), et 1 + exp (i fi).
(2) Écrire le nombre complexe z = 1 + exp (i fi) sous forme trigonométrique (on pourra s'inspirer du schéma de la question (1)).
(3) En déduire une expression simple de (1 + cos fi + i sin fi)n, pour tout n € N*.

Merci de votre aide.
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[invitec4bbab6d]

Salut à toi !

Alors, tu dois sans doute savoir que l'ensemble des Complexe peut être représenter dans un repère orthonormé où l'axe [TEX](Ox)v désigne l'ensemble des nombres réels (donc à partie imaginaire nulle) et l'axe la partie de des imaginaires purs (donc à partie réelle nulle). Je prends la représentation classique où tu mets l'axe comme axe horizontal et l'axe comme axe vertical.

Une autre notion importante est celle de module. Le module va en fait désigner dans ton plan la distance entre ton nombre complexe et l'origine de ton repère orthonormé. Il faut voir cette distance comme le rayon d'un cercle. Le module se calcul pour un nombre comme . La je te donne le module au carré parce que j'avais la flemme d'écrire la racine carrée mais pense que le module est bien et non

Par exemple pour ta première question, le nombre 1 est un élément de à partie imaginaire nulle (c'est donc un réel). De plus son module est . Il est donc situé sur l'axe à une distance de ton origine. En gros il correspond à un rayon du cercle trigonométrique (cercle de rayon centré en l'origine).

Maintenant, imaginons qu'on est un nombre complexe , il te suffit de prendre l'intersection de la droite coupant ton axe avec la droite coupant ton axe . Cela revient à prendre l'unique complexe possédant comme partie réelle et comme partie imaginaire.

Cette méthode est plus simple que de passer par le module puisque tu as directement les parties réelles et imaginaires. Mais garde en tête le calcule du module. En effet, tu peux parfois être amené à transformer ton complexe en . Pour cette représentation trigonométrique de ton nombre complexe, est le module et est l'angle que fait ton rayon avec l'axe horizontal. Pour placer un tel point il te suffit alors de tracer un cercle centré en l'origine et de rayon et de placer ton point sur ce cercle à un angle .

Voilà pour les cas généraux !

Je reviens à ton exercice. On te demande de placer . Là je te conseille de transformer ton . En effet, tu dois savoir que . Tu peux alors réécrire ton nombre complexe sous la forme avec une partie imaginaire et une partie réelle. Dans ton cas, ça donne : avec la partie réelle et la partie imaginaire. Tu n'as plus qu'à appliquer la méthode simple de l'intersection que je t'ai donné plus haut. Bien sûr ici est une valeur générique.

Dis moi si quelques chose n'est pas clair.

Bon appétit

Cuv

[invitec4bbab6d]

Je viens de me rendre compte que j'ai pris les questions dans le désordre ...

Bref pour placer tu places comme je te l'ai dis sur un cercle de rayon puisque son module vaut et avec un angle . En suite puisque est un réel, il suffit de faire subir une translation de 1 selon l'axe à ton point.

La suite des questions découle ensuite logiquement.

Tiens moi au courant

Cuv

[invite3014c89c]

Je m'excuse pour cette réponse tardive. Merci pour ton explication complète.

Mon problème vient en fait des valeurs générique que j'ai du mal à abstraire. Donc si je te suis bien, l'angle 1+exp (i fi) se situe à un angle fi par rapport à l'axe (Ox)? Alors exp i fi se situe au même endroit sur le cercle que 1 + exp (i fi), soit à un angle fi par rapport à (Ox)?

Pour la suite, j'ai utilisé la formule de Moivre sans grande conviction... Mais je suis pas très satisfait du résultat, j'ai dû faire une erreur.

Merci pour ta réponse.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec4bbab6d]

Salut !!

Alors non tu fais fausse route, je n'ai pas dû être très claire. De manière très simple pense bien et donc, c'est deux points ne peuvent pas être placé au même endroit dans le plan . Tu peux aussi le voir en pensant que ces deux nombres complexes n'ont pas les mêmes parties imaginaires et réelles, or pour que deux nombres complexes soient égaux, il est nécessaire que :



et



Bref CE NE SONT PAS LES MÊMES NOMBRES COMPLEXES !!!

Alors je reprends mon explication. est un nombre complexe de module , il est donc situé sur le cercle unité (rayon ) centré en l'origine à un angle . Rappelle toi, dans mon précédent message je t'avais précisé que tous les nombres complexes de la forme étaient situés sur un cercle centré en l'origine, de rayon et formaient un angle avec l'axe .

J'en profite d'ailleurs pour te dire qu'on se moque de savoir la valeur de , ton schéma est là pour t'aider à visualiser des nombres complexes dans le plan . Tu peux donc choisir l'angle que tu veux sans que cela nuise au problème. Si ça te rassure, place le au hasard sans choisir un angle "connu" comme , , ou degré.

Bref, j'en reviens au nombre ... Tu vois que par rapport à , tu ne rajoutes qu'un réel, soit un nombre complexe à partie imaginaire nulle. D'après ce que je t'ai dis que les axes et tu dois en déduire que le point représentant ne se situera pas plus haut ou plus bas que le point . Ils se situent donc sur une même droite, parallèle à l'axe . MAIS, tu rajoutes un petit quelque chose en terme de partie réelle, ! Donc tu n'es pas sur le même point, mais décalé de 1 sur la droite ! (voir schéma ci-dessous)...

 Cliquez pour afficher

J'espère que tout est maintenant claire. N'hésite pas à me reposer des questions !

Bonne après-midi

[invite3014c89c]

Ah d'accord merci Cuv pour ton explication détaillée ! Je pense avoir bien saisi le concept. En fait ce qui change c'est le module qui change si j'ai bien compris.

En tout cas merci encore

Abou

[invitec4bbab6d]

Hey !

Oui le module change... Mais l'angle aussi Logique puisque tu ne rajoutes pas de partie imaginaire mais que tu fais une simple translation selon l'axe ... D'ailleurs tu le vois sur le schéma, l'angle change en effet. Il aurait été possible de garder un angle constant mais en additionnant les bons réels et imaginaires purs. Ce n'est pas le cas ici.

Cuv

[invite3014c89c]

Ah oui je viens de voir le schéma c'est parfaitement clair maintenant. (il était en cours de validation)

Merci encore Cuv pour tes réponses rapides.

Abou

[invitec4bbab6d]

De rien ! Ravi de t'avoir aidé...

Je ne sais pas si il y a une option pour clore un sujet résolu

Cuv