Problèmes de complexes et trigonométrie.

[invite40558ddb]

Bonjour à tous !
J'ai reçu hier un devoir maison de mathématiques à rendre pour lundi portant sur la trigonométrie et les complexes (je ne sais d'ailleurs pas si je suis vraiment dans la catégorie "mathématiques du supérieur" puisque mes 2 chapitres de cours ne constituent presque que des rappels.. ^^' )
Bref ce Devoir maison me pose quelques problèmes qu'il m'est difficile de régler tout seul même après avoir regardé pendant une demi-heure la même question..

Dans le premier de mes exercices il m'est demandé de transformer la somme :

S=sin3a+sin3b+sin3c , sachant que a,b,c sont les angles d'un triangle.

A l'aide des indications de mon prof je suis arrivé a l'expression de S qui est la suivante :

S= 4sin((3a+3b)/2)sin(3a/2)sin(3b/2)

Je ne pense pas m'être trompé, mais la suite de l'exercice me demande de résoudre l'équation S=0 et c'est là que ça pose problème...
Le prof a indiqué que cette égalité entraine que l'un des angles du triangle soit égal à π/3 et ça n'est pas du tout ce que je trouve =/
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Dans un autre exercice je suis amené à montrer qu'une fonction : f(z)=iz^3+(2i-1)z²-(i+4)z+3(2i-1) admet une seule racine réele noté r.
Comme indication on me dit de noter que :
Ré(f(r)) = 0 et Im(f(r)) = 0 pour obtenir un système... Et lui je n'arrive pas à le résoudre, j'obtiens :

-z²+4z-3 = 0
z^3+2z²-z+6 = 0

(la réponse doit être r=-3)
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Je dois aussi linéariser cos^3(t) dans un autre exercice, et ensuite calculer la somme A = Somme allant de k=0 à n de cos^3(kx)

Je ne sais donc pas si je devrait plutôt linéariser cos^3(x) à l'aide des formules de trigo, ou bien utiliser les formules d'euler et developper
(((exp(it)+exp(-it))/2)^3

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Enfin un dernier problème se pose à moi, je dois démontrer sachant que u et v sont 2 nombres complexes :

|u+v|²+|u-v|² = 2|u|²+2|v|²

Je réussis à démontrer le résultat, mais je n'arrive pas, même en faisant un dessin, à interpreter géométriquement ce resultat...


C'est à peu près tout... Et je sais que ça fait pas mal de questions en une fois, mais j'aimerai m'en sortir avec ce devoir et je trouve ça plus bénéfique de demander de l'aide après avoir cherché plutot que de m'acharner à chercher, souvent dans la mauvaise direction...
Merci d'avance à ceux qui me répondront !
Bonne journée =)
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[inviteec33ac08]

Salut, déjà pour ton équation utilise le fait que l'un des sinus doit au moins être nul pour entraîner S=0, en gros sin((3a+3b)/2)=0, fais pareil pour les autres sa devrait marcher.

[invite1e1a1a86]

1)un produit de facteur est nul si l'un (au moins) des facteurs est nul
Je n'ai cependant pas vérifié les calculs

2)on sait résoudre une équation du second degré. Et il y a une faute dans l'équation 1.

3)au choix... Euler est a mon avis plus simple a utiliser...de toutes façons comment on montre les formules de trigo?

4)identité du parallélogramme.

[invite40558ddb]

Salut, déjà pour ton équation utilise le fait que l'un des sinus doit au moins être nul pour entraîner S=0, en gros sin((3a+3b)/2)=0, fais pareil pour les autres sa devrait marcher.

Oui je vois parfaitement ce que tu veux dire et c'est ce que j'ai fait, j'ai un système avec trois équations mais je ne retombe pas sur la valeur attendue :

sin((3a+3b)/2)=0 => (3a+3b)/2 = 0 + kπ
sin(3a/2)=0 => 3a =0 +kπ
sin(3b/2)=0 => 3b =0 +kπ

donc :
a+b = 2kπ/3
a = 2kπ/3
b = 2kπ/3

et là je ne vois pas d'où sortir un π/3 ....

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite40558ddb]

1)un produit de facteur est nul si l'un (au moins) des facteurs est nul
Je n'ai cependant pas vérifié les calculs

2)on sait résoudre une équation du second degré. Et il y a une faute dans l'équation 1.

3)au choix... Euler est a mon avis plus simple a utiliser...de toutes façons comment on montre les formules de trigo?

4)identité du parallélogramme.

Pour le premier j'ai utilisé cette indication mais dans mon message précédent tu vois que ça pose problème en fait..
Merci pour les indications pour les 3 derniers exos, je vérifie ma faute dans le 2, mais j'ai quand meme une équation de degré 3 dans mon système, il faut la prendre en compte non ?