Bonjour, notre prof nous donne des vrai-faux et il avait mal rédigé l'une d'entre elle, et donc ne connaissait pas le résultat de celle-ci, la question était:
Soit x et y deux éléments non inversibles, xy est il non inversible?
On n'est à priori pas dans un anneau commutatif (c'est l'hypothèse qu'il manqué).
Donc si quelqu'un a une démonstration ou un contre exemple je suis preneur.
Ce n'est qu'un cas particulier, mais dans l'anneau non commutatif des matrices de taille n, xy n'est pas inversible, en effet xy s’interprète comme une composé d"applications linéaire, et dimIm(xy) <= dimIm(x) <n
Ah mais enfait c'était toute bête, il suffisait de raisonner par l'absurde.
Supposons xy inversible, donc il existe z tel que xyz=1, c'est à dire que yz est l'inverse de x, c'est absurde. (On n'a pas utilisé la commutativité, juste l'associativité.)
Attention, ici tu n'as qu'un inverse à droite, ce qui ne veux pas forcément dire dire que x est inversible.
voilà c'est cela le problème,on peut montrer ou l'existence à droite d'un inverse, ou celle a gauche mais pas les deux -_-''
On a passé en revue tous les anneaux habituels et aucun ne trouve de contre exemple -_-''
Il suffit de modifier un peu cette idée, et de se placer en dimension infinie avec, par exemple :Envoyé par Linkounet
l'espace vectoriel des suites à valeurs réelles et
On considère les éléments
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Remarque :
Merci, pas mal du tout comme contre exemple. Pas bête du tout d'avoir pris les applications sur les suites.
On peut l'habiller avec des polynômes :
Oui, il n'y a aucune condition sur la finitude de la suite, on peut donc se restreindre au suites presque finies donc polynômes
Le coup des polynômes, ce n'est pas seulement le fait de se restreindre aux suites à support fini, c'est vraiment une question d'habillage de l'exemple : à partir de là, on peut le réaliser sur un espace E de fonctions indéfiniment dérivables par exemples, ou un espace de fonctions périodiques en faisant joujou avec les séries de Fourier sans le dire...
Ah effectivement oui mais on fait malheureusement pas assez souvent de lien entre toutes ces notions.
