sommes partielles de la série harmonique

[invitee38f19b0]

bonsoir
je recherche une démonstration
merci pour vos réponses
-----

[invite57a1e779]

Il suffit de réduire au même dénominateur, et d'étudier soigneusement la parité des numérateurs de chacune des fractions obtenues.

[invitee38f19b0]

je ne crois pas que ce soit aussi simple
par exemple

[invite705d0470]

Oui, je suis moi aussi curieux.
J'ai essayé par récurrence simple de démontrer ce résultat, mais l'hypothèse est trop faible (seul le cas n impair est solvable) !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

je ne crois pas que ce soit aussi simple
par exemple

Mais si !

Dans les numérateurs obtenus : 12, 6, 4, 3, un seul est impair, donc le numérateur final est impair.

[invitee38f19b0]

d'accord sur ce cas simple mais pour le cas général comment se "débrouille -t-on" où le dénominateur est le ppcm(1.2,3,....,n)
il semblerait qu'il n'y ait qu'un seul nombre impair (ou un nombre impair d'impairs)dans les numérateurs?
faut-il décomposer ce ppcm en facteurs premiers?

[invite57a1e779]

On règle à part le cas n=1, où le résultat indiqué est faux.

Dans les autres cas, le dénominateur commun obtenu par ppccm est pair, et on démontre qu'il n'y a effectivement qu'un seul numérateur impair.
Conseil : faire la réduction au même dénominateur pour plusieurs sommes partielle, et repérer quel terme fournit ce numérateur impair.