transposée !

[invite4a9059ea]

Bonsoir ;

J'ai , où D est une matrice diagonale ...

on en déduit alors

et , c'est cette dernière égalité que je ne comprend pas , si quelqu'un pouvait m'éclairer !

Cordialement
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[invited5b2473a]

Euh non ta dernière égalité est fausse de manière générale.

[invite57a1e779]

Dans le cadre du problème auquel tu fais référence, on a dû prouver auparavant que la matrice P était orthogonale.

[invite4a9059ea]

c'est ce que le prof a marqué !!!!

elle est juste dans le cas ou P est une matrice orthogonale ( à confirmer ) mais là en plus elle ne l'est pas ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4a9059ea]

Et sans plus attendre voici la matrice P :




bon je vais revérifier ses calculs pour les vecteurs propres de la matrice A , peut être que ça vient de là ...

[invite4a9059ea]

Bonjour God's breath , merci pour l'indication

[invite57a1e779]

La matrice que tu donnes n'es pas vraiment orthogonale.

Il y a une erreur de typographie dans ton texte, et il faut lire : .

[invite4a9059ea]

le prof s'est trompé aprés mes calculs je trouve d'autre vecteurs propres et voici donc la matrice p :



Bizarre j'ai pas l'impression qu'elle soit orthogonale aussi ....

[invite4a9059ea]

voici la matrice A :

[invite4a9059ea]

j'ai revérifier pour le polynôme caractéristique , c'est bien :



je ne vois pas où j'ai fait d'erreurs dans le calcul des vecteurs propres ....

[invite57a1e779]

J'avais lu ce que je voulais voir, mais j'ai compris le problème.

Ton prof a choisi astucieusement les vecteurs propres pour obtenir une matrice de passage P symétrique, et pour cette matrice, on bien .

Pour un autre choix des vecteurs propres, la matrice de passage obtenue n'est pas symétrique, et le calcul avec la transposée est différent.

[invite4a9059ea]

La matrice A est symétrique on devrait normalement avoir une matrice de passage p qui soit orthogonale or elle ne l'est pas( sauf erreur qu'est ce qui se passe ? )

[invite57a1e779]

C'est pour cela que je me suis fait avoir... j'attendais une matrice P orthogonale, avant de même de savoir que la matrice A était symétrique.

Le truc, c'est que, pour n'importe quelle matrice diagonalisable, il n'y a pas unicité de la matrice de passage P.

Lorsque la matrice est symétrique, on sait que parmi toutes les possibilités, on peut choisir la matrice P orthogonale.
Mais ici, parce que ça l'arrange, ton professeur a choisi la matrice P symétrique.
Tes propres calculs t'ont conduit à une matrice P ni symétrique, ni orthogonale.

C'est l'utilisation ultérieure de P qui mettra en évidence l'intérêt du choix de P symétrique plutôt qu'orthogonale.

[invite4a9059ea]

trés bien ,il a donc fait une combinaison linéaire des 2 vecteurs propres suivant (-1,1,0) et (-1,0,1) ( -1 fois le 2e + le premier) pour retrouver ce vecteur (0,1,-1) qui est aussi un vecteur propre de , afin d'obtenir une matrice p qui soit symétrique ...
ça c'est bien le genre de truc auquel je ne penserais pas à faire à l'examen !

[invite4a9059ea]

J'avais lu ce que je voulais voir, mais j'ai compris le problème.

Ton prof a choisi astucieusement les vecteurs propres pour obtenir une matrice de passage P symétrique, et pour cette matrice, on bien .

Est ce qu'on aussi ?

[invite57a1e779]

Oui, on se permet d'écrire sans parenthèses parce que : .

Ici le calcul fait apparaître qu'on remplace immédiatement par : .

[invited5b2473a]

Est ce qu'on aussi ?

oui, en effet.

[invite4a9059ea]

y a un soucis là comme même :

= et ça c'est différent de !!! sauf erreur

[invite4a9059ea]

si effectivement il y a un soucis , c'est peut être parce que t n'est pas le symbole pour la transposée mais içi un scalaire auquel cas la notation du prof est trés mal choisie .... est ce qu'on a bien : dans le cas où t est un scalaire réel ?

[invited5b2473a]

si effectivement il y a un soucis , c'est peut être parce que t n'est pas le symbole pour la transposée mais içi un scalaire auquel cas la notation du prof est trés mal choisie .... est ce qu'on a bien : dans le cas où t est un scalaire réel ?

Dans ce cas, et si vraiment t désigne un scalaire (et c'est bien la première fois que je vois une telle notation si peu appropriée), alors oui, quelque soit les matrice P et D (diagonales, non diagonales, symétriques, non sym, tout ce que tu veux ou presque), cette propriété est vraie.

[invite57a1e779]

On reprend.

On part d'une matrice symétrique réelle, donc diagonalisable.

On en déduit : , donc :

– si on transpose cette relation : , mais ;
– mais si on remarque que et sont symétriques : .

Si on a en vue la première ligne, il faut effectivement avoir choisi la matrice de passage orthogonale, ce qui est effectivement possible, mais il y a effectivement une erreur de calcul.
Ou on a écrit la seconde ligne, mais je ne vois pas l'intérêt.

Comme ton professeur a choisi une matrice de passage symétrique, il veut peut-être, partant de , obtenir par transposition, puis, comme toutes les matrices sont symétriques : , ce qui signifie que serait une matrice de passage diagonalisant .
En fait, quel est le résultat final du calcul et à quelle question répond-il ?

[invite4a9059ea]

c'est pour ça que je me suis mélangé les pinceaux



ça m'a fait tilt lorsque j'ai vu :

[invite4a9059ea]

les questions sont :

Calculer exp(tA) pour , Désolé de ne pas l'avoir pas vu plutôt ...

[invite57a1e779]

si vraiment t désigne un scalaire (et c'est bien la première fois que je vois une telle notation si peu appropriée)

A posteriori, dans les calculs d'exponentielle de matrices, en particulier dans les équations différentielles, la notation est des plus traditionnelles, et le était bien en facteur, et non en exposant dans le message initial.

C'est sans doute l'habitude de corriger des messages avec une typoraphie approximative qui nous a fait déformer la question posée, et nous nous sommes laissés entraîner dans les problèmes usuels de transposition sur ces formules de diagonalisation.

A notre décharge, ou on calcule , puis
– soit on en déduit , puis et enfin ;
– soit on en déduit , puis et enfin ;
mais je n'ai jamais vu écrire la formule de passage entre et lors d'un calcul d'exponentielle.

[invite4a9059ea]

ceci dit , il y a autre chose qui m'embête c'est l'égalité :

[invite57a1e779]

Tout simplement :

[invite4a9059ea]

Aprés calcul on trouve :




Maintenant on me demande :

Trouver l'unique fonction dérivable




qui vérifie et

Que peut on dire de quand ?

[invite4a9059ea]

On remarque que le système est équivalent à

[invite4a9059ea]

à priori c'est l'équation homogène d'une équation différentielle linéaire du premier ordre ...

[invite4a9059ea]

Merci de me corriger en cas d'erreurs :

les solutions de l'équation homogène sont les fonctions de la forme :

, .

la condition initiale nous permet de trouver :

On en déduit alors que l'unique solution à l'équation homogène est la fonction :



La norme , elle tend vers lorsque .