continuité

[invite371ae0af]

bonjour,

j'aurai besoin d'aide pour cet exo:
Soit I dans R un intervalle. Une fonction f de I dans R est dite connexe si pour tout intervalle J dans I l'image f(J) est un intervalle.
1)Prouver que si f de I dans R est connexe et f^-1({y}) est fermé dans I pour tout y dans R alors f est continue

voici ce que j'ai fais:
comme f est connexe pour tout J dans I, f(J) est un intervalle. Posons f(J)=[c,d] avec [c,d] un fermé
comme f^-1({y}) est fermé dans I pour tout y dans R alors f^-1([c,d]) est un fermé
on en déduit que f est continue(avec le théorème f est continue ssi pour tout F fermé, f^-1(F) est un fermé

est-ce juste?

merci de votre aide
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[invited5b2473a]

Tu vas très vite dans tes justifications...
Un fermé n'est pas nécessairement un intervalle de la forme [c,d].
Tu poses f(J) = [c,d] mais dans la suite, tu n'utilises pas f(J) donc pas vraiment utile, non?
Et tu devrais peut-être développer l'implication entre " f-1({y}) est fermé dans I pour tout y dans R" et "f-1([c,d]) est un fermé". C'est un peu le point crucial de la démonstration.

[invite371ae0af]

en faites pour le dernier point, j'utilise le théorème que j'ai écrit avant l'image réciproque d'un fermé est un fermé

[invited5b2473a]

en faites pour le dernier point, j'utilise le théorème que j'ai écrit avant l'image réciproque d'un fermé est un fermé

Désolé mais je ne comprends pas ce que tu dis. Je te demande juste de démontrer l'implication "f-1({y}) est fermé dans I pour tout y dans R alors f-1([c,d]) est un fermé".

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite371ae0af]

oui en effet.
dans ce cas je ne vois pas, y est un point et [c,d] un ensemble de point

[invited5b2473a]

oui en effet.
dans ce cas je ne vois pas, y est un point et [c,d] un ensemble de point

Et????????????????

[invite371ae0af]

finalement j'ai trouvé mais en faisant d'une manière complètement différente
merci de ton aide

[invited5b2473a]

Tu pourrais exposer ta nouvelle manière juste par curiosité.