Bonjour à tous,
Il existe plusieurs types de produit entre groupes, dont les produits direct, semi-direct et libre. Les produits direct et libre me semblent naturels dans certaines situations, mais j'aimerais en savoir un peu plus sur le produit semi-direct.
Dans quel(s) cadre(s) est-il naturel de considérer le produit semi-direct de deux groupes ?
Merci d'avance,
Seirios
If your method does not solve the problem, change the problem.
L'idée de base du produit semi-direct est simple : Si H est un sous-groupe distingué d'un groupe fini G, on a envie de ramener l'étude de G à celle de H et de G/H. Le produit semi-direct est une illustration de ce concept. Plus précisément, tu as dans ce cas là une suite exacte
1 -> H -> G -> G/H -> 1
Notons p : G -> G/H la projection canonique. Supposons qu'il existe un sous groupe K de G tel que p induise un isomorphisme de K sur G/H. Dans ce cas là, on peut montrer qu'on a un isomorphisme de G sur H psd G/H. Ainsi on a pu exprimé G en fonction de H et G/H.
Les exemples classiques sont les suivants :
- Sn est isomorphe à An psd Z/2Z
- Dn est isomorphe à Z/nZ psd Z/2Z
- Si G est un groupe d'ordre pq avec p<q premiers on a que G est isomorphe à Z/qZ psd Z/pZ
J'ai surtout exposé l'idée de base du produit semi-direct, mais si tu veux plus de précision, tu peux me demander, ou consulter les quelques pages du livre de Daniel Perrin où il en parle.
Le produit semi-direct apparaît naturellement lorsque les éléments des deux groupes dont on considère le produit ne commutent pas.Envoyé par Seirios (Phys2)
Un exemple simple : les homothéties et les translations.
