anneau local

[ali-baba]

bonjour à tous, voila je bloque sur une parti d'un exercice...je dois montrer qu'un anneau est local si et seulement si la somme de deux éléments non inversibles est un élément non inversible et l'idéal maximal est l'ensemble de tous les éléments non inversibles.

j'ai réussi à montrer l'équivalence entre l'anneau local et l’ensemble de ses éléments non inversibles forment un idéal de A.
Mais j'arrive pas à montrer qu'il est maximal dans le sens anneau local->idéal maximal. Et de plus je n'arrive pas tout à démontrer que la somme de deux élements inversibles est un élement inversible et je ne vois pas ce que ça amène dans un sens ou dans l'autre..
merci d'avance
-----

[ali-baba]

pour être plus précis voila ce que j'ai fait:

->soit A un anneau local, I son idéal maximal et N d’ensemble de ses éléments non inversible.
Soit x un élément de N. L’idéal (x) engendré par x est un idéal propre de A donc il est contenu dans un idéal maximal J
d’après le théorème de Krull. A étant local on a J = I donc x ∈ I. Donc N ⊂ I; I étant un idéal distinct de A on a aussi
l’inclusion inverse. N = I est ainsi un idéal de A.

<-si l’ensemble des éléments non inversible N de A est un idéal et si J est un idéal contenant N et
distinct de N, alors J contient des éléments inversibles donc J = A et N est maximal. Si K est un autre idéal maximal on
a K ≠ A et de même K ⊂ N donc K = N donc A anneau local..

mais je n'utilise absolument pas la somme de deux éléments non inversibles...