Théorème de Thalès

[invite705d0470]

Bonsoir, ma question est sûrement idiote, étant donné la simplicité du théorème qu'elle évoque, mais je vais quand même la poser:
Comment peut on démontrer le théorème de Thalès avec des similitudes directes ?

Voilà, en réalité, l'exercice qui m'a été posé:
Soient trois droites parallèles et une droite D non parallèle aux trois autres, on considère qu'elle coupe ces droites en A,B,C. Je veux montrer que le rapport ne dépend pas de la droite considérée !
Intuitivement, j'ai considéré une seconde droite D' non parallèle aux trois premières qui les coupe en A',B' et C'. le but est alors de montrer .Si elle est parallèle à D, alors elle est son image par une certaine translation. Or une translation est une isométrie: en particulier elle conserve les longueurs et les rapports de longueurs, ce qui donne le résultat.
On suppose donc D' non parallèle à D. Les droites sont alors concourantes en un point, que je nomme . J'aimerais considérer l'unique similitude directe de centre qui envoie A sur A'. En particulier donc les points et et sont alignés sur D'. Finalement, il ne me reste plus qu'a montrer que B''=B' et C''=C', c'est à dire que f(B) et f(C) sont aussi sur les droites parallèles respectives. Par propriétés des similitudes ont aura Thalès.
Mais voilà, je bloque à cette étape !

Pourtant, je pense ma méthode assez claire et intuitive ... :/

Merci d'avance !
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[invite07dd2471]

Bonjour,

Une similitude directe multiplie les distances par une certaine constante k non ? Donc c'est fini non ? ou je dis une grosse connerie ?

[invite705d0470]

Non, non, c'est bien ça C'est d'ailleurs pour ces mêmes autres propriétés (conservation de rapports de distance) que je voulais en utiliser une ^^
mais mon problème vient plutôt après: je dois montrer que les deux autres points qu'elle envoie sur D' sont bien sur les trois droites parallèles de départ. Et ça, je n'y arrive pas.

Après cette étape, le tour sera joué: ayant trouver la similitude qui envoie A, B, C sur A', B', C', les rapports de longueurs seront égaux, et Thalès démontré

[invite07dd2471]

désolé j'avais zappé ce point ^^ Moi perso je dis fais un petit dessin, trace une perpendiculaire aux trois droites issue de A, une autre issue de A' (je l'ai fait en prenant A et A' les points les plus proches, dessin plus clair) puis avec des relations élémentaire de trigo (cos=, sin=) on obtient vite le résultat

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite705d0470]

Ah oui ! ^^
Merci beaucoup

J'aurais bien voulu avoir la démo avec ma similitude, mais juste pour la "beauté" de la démo lol.

[invite57a1e779]

avec des relations élémentaire de trigo (cos=, sin=)

Comment démontre-t-on ces relations élémentaires ?

[invite07dd2471]

Ben pour moi c'est la définition d'un COS et d'un SIN, définis d'après le cercle trigo.

[invite57a1e779]

S'ils sont définis dans le cercle trigonométrique, comment les utilise-ton dans la démonstration du théorème de Thalès dont le cercle trigonométrique est absent ?

[invite07dd2471]

On généralise en inscrivant nos triangles rectangles dans un cercle de rayon r. Dans le cercle trigo, cos c'est l'abscisse, mais c'est aussi abscisse sur hypothénuse si on divise par 1 (oh magie!) et la valeur change pas si on multiplie par un rayon r en haut et en bas (re-magie !!).

Je vois vraiment pas l'intérêt de pinailler là dessus.

Sinon on redéfinit tout depuis le produit scalaire, super utile vu le contexte de l'exo.

Et puis une droite, c'est quoi d'abord, on l'a pas dit non plus.

[invite57a1e779]

L'intérêt de pinailler, c'est que tu utilises le théorème de Thalès pour définir le sinus et le cosinus dans un triangle rectangle quelconque, puis que tu utilises les lignes trigonométriques pour démontrer le théorème de Thalès : il y a un magnifique cercle vicieux, et rien n'est démontré.

[invite07dd2471]

Dans ce cas faut me préciser dès le départ qu'on part de rien. C'est vrai que ma réponse est stupide je m'en rends compte maintenant même si je cherche une faille depuis15 minutes

C'est une "déformation professionnelle", je donne trop de cours à des collégiens et lycéens en ce moment et quand je vois du sin ou du cos, ça devient un réflexe

Ben il reste plus qu'à écrire la matrice de la similitude, ou partir de l'axiome du plan arguésien ?

A ma décharge depuis notre plus tendre enfance on nous a bourré ces formules en tete et le même coup sur le même exo je l'ai fait déjà à un prof qui ne m'a rien redit là-dessus, du coup ça m'avait pas fait cogiter

[invite57a1e779]

Le problème est qu'on ne sait effectivement pas dans quel cadre se pose la question de démontrer le théorème de Thalès.